Az A. 648. feladat (2015. szeptember)

A. 648. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) és \(\displaystyle AB\) oldalainak felezőpontjai rendre \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), illetve \(\displaystyle F\). A háromszög \(\displaystyle C\) pontból induló magasságának talppontja \(\displaystyle T_1\). Egy, a \(\displaystyle C\) ponton áthaladó, de a \(\displaystyle T_1\) pontra nem illeszkedő egyenesen az \(\displaystyle A\)-ból és \(\displaystyle B\)-ből bocsátott merőlegesek talppontjai \(\displaystyle T_2\), illetve \(\displaystyle T_3\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle DEF\) kör átmegy a \(\displaystyle T_1T_2T_3\) kör középpontján.

Javasolta: Bíró Bálint, Eger

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. október 12-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. A diszkusszió elkerülése érdekében irányított (modulo \(\displaystyle 180^\circ\)) szögekkel fogunk számolni.

Legyen \(\displaystyle T_1T_2T_3\) körülírt köre \(\displaystyle k_1\), középpontja \(\displaystyle X\). Jól ismert, hogy \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle T_1\) a háromszög egy körön, a háromszög Feuerbach-körén van.

Mivel \(\displaystyle AT_1C\sphericalangle=CT_2A\sphericalangle=90^\circ\), az \(\displaystyle A,T_1,C,T_2\) pontok egy körön vannak. jelöljük ezt a kört \(\displaystyle k_2\)-vel. A \(\displaystyle k_2\) körben \(\displaystyle AC\) átmérő, a kör középpontja az \(\displaystyle E\) pont. Hasonlóan, a \(\displaystyle B\), \(\displaystyle T_3\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle T_1\) pontok is egy körön vannak; jelölje ezt \(\displaystyle k_3\); a kör középpontja a \(\displaystyle D\) pont.

A kerületi szögek tétele miatt \(\displaystyle T_1T_2T_3\sphericalangle \equiv T_1T_2C\sphericalangle \equiv T_1AC\sphericalangle \equiv BAC\sphericalangle \equiv EDF\sphericalangle\), és hasonlóan \(\displaystyle T_2T_3T_1\sphericalangle \equiv CT_3T_1\sphericalangle \equiv CBT_1\sphericalangle \equiv CBA\sphericalangle \equiv FED\sphericalangle\); ebből következik, hogy \(\displaystyle T_2T_3T_1\triangle \sim ABC\triangle \sim DEF\triangle\).

Az \(\displaystyle EX\) egyenes a \(\displaystyle k_1\) és a \(\displaystyle k_2\) centrálisa, így \(\displaystyle EX\) a két kör közös húrjának, \(\displaystyle T_1T_2\)-nek a felező merőlegese. Hasonlóan, a \(\displaystyle DX\) egyenes a \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_3\) centrálisa, ami a \(\displaystyle T_1T_3\) közös húr felező merőlegese. Legyen \(\displaystyle D_1\) és \(\displaystyle E_1\) az \(\displaystyle T_1T_3\), illetve a \(\displaystyle T_1T_2\) szakasz felezőpontja. A \(\displaystyle T_1D_1XE_1\) négyszögben \(\displaystyle EXD\sphericalangle \equiv E_1XD_1\sphericalangle \equiv E_1T_1D_1\sphericalangle \equiv T_2T_1T_3\sphericalangle \equiv EFD\sphericalangle\). Ez bizonyítja, hogy a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle X\) pontok egy körön vannak.

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Adnan Ali, Baran Zsuzsanna, Bukva Balázs, Cseh Kristóf, Gáspár Attila, Kocsis Júlia, Kovács 162 Viktória, Lajkó Kálmán, Schrettner Bálint, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Bodnár Levente, Kiss Dorina, Kovács 246 Benedek, Szabó 789 Barnabás, Szebellédi Márton.

A KöMaL 2015. szeptemberi matematika feladatai