 |
Az A. 692. feladat (2017. március) |
A. 692. Léteznek-e olyan \(\displaystyle f,g\colon \mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) bijektív függvények, amelyekre az \(\displaystyle f\big(g(x)\big)\) függvény szigorúan monoton nő, a \(\displaystyle g\big(f(x)\big)\) függvény pedig szigorúan monoton csökken?
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Megadunk olyan \(\displaystyle f,g\colon \mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) bijektív függvényeket, amelyekre \(\displaystyle f\big(g(x)\big)=2x\) és \(\displaystyle g\big(f(x)\big)=-3x\).
Minden \(\displaystyle x\ne0\) racionális szám egyértelműen felírható \(\displaystyle 2^{a}(-3)^by\) alakban úgy, hogy \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) egész számok, az \(\displaystyle y\) pedig olyan racionális szám, amelynek van olyan \(\displaystyle y=\frac{u}{v}\) közönséges tört alakú felírása, amelyben sem \(\displaystyle u\), sem \(\displaystyle v\) nem osztható sem \(\displaystyle 2\)-vel, sem \(\displaystyle 3\)-mal. A továbbiakban az \(\displaystyle y\) mindig ilyen tulajdonságú, \(\displaystyle 0\)-tól különböző számot fog jelölni.
Az \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) függvényeket definiáljuk a következőképpen:
\(\displaystyle f(0) = 0, \quad f\big(2^a(-3)^by\big) = 2^b (-3)^a y; \qquad g(0) = 0, \quad g\big(2^a(-3)^by\big) = 2^b (-3)^{a+1} y. \)
Ezek valóban bijektívek, az inverzeik
\(\displaystyle f^{-1} = f; \qquad g^{-1}(0) = 0, \quad g^{-1}\big(2^a(-3)^by\big) = 2^{b-1} (-3)^a y \quad \text{(avagy, \(\displaystyle g^{-1}=\tfrac{-g}6\)).} \)
A megígért tulajdonság is teljesül, mert
\(\displaystyle f\big(g(0)\big)=g\big(f(0)\big)=0, \)
továbbá \(\displaystyle x=2^{a}(-3)^by\) esetén
\(\displaystyle f\big(g(x)\big) = f\Big(g\big(2^a(-3)^by\big)\Big) = f\big(2^b (-3)^{a+1} y\big) = 2^{a+1} (-3)^b y = 2x, \)
és
\(\displaystyle g\big(f(x)\big) = g\Big(f\big(2^a(-3)^by\big)\Big) = g\big(2^b (-3)^{a} y\big) = 2^a (-3)^{b+1} y = -3x. \)
Statisztika:
6 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Borbényi Márton, Bukva Balázs, Gáspár Attila, Matolcsi Dávid, Váli Benedek, Williams Kada.
A KöMaL 2017. márciusi matematika feladatai