Az A. 896. feladat (2025. január)

A. 896. A tengerbiológusok egy új kagylófajt vizsgálnak, amelynek az első generációját 100 kagyló alkotja, és a kolóniájuk a következőképpen szaporodik: ha egy adott generációban \(\displaystyle N\) kagyló van (ahol \(\displaystyle 5 \mid N\) mindig teljesül), akkor \(\displaystyle N/5\) darab \(\displaystyle 5\) kagylóból álló csoportra osztják magukat, és mindegyik csoportnak közösen születik \(\displaystyle 15\) darab utódja, akik a következő generációt alkotják. A kagylók között néhányban található egy darab gyöngy, de egy kagylóban csak akkor lehet gyöngy, ha az egyenes felmenői közül senkiben sem volt gyöngy. Egy gyöngy értékét az határozza meg, hogy az őt tartalmazó kagyló hányadik generációs: az \(\displaystyle n\)-ik generáció esetén az érték \(\displaystyle 1/3^n\). Legfeljebb mennyi lehet a gyöngyök összértéke a kolóniában?

Javasolta: Beke Csongor (Cambridge)

(7 pont)

A beküldési határidő 2025. február 10-én LEJÁRT.

Tekintsünk \(\displaystyle n\) generációt, és nevezzük kagylók egy \(\displaystyle \{k_1,k_2,\dots, k_n\}\) halmazát láncnak, ha minden \(\displaystyle i\)-re \(\displaystyle k_i\)-nek \(\displaystyle k_{i+1}\) utódja. Ekkor bármelyik láncban legfeljebb egy gyöngy szerepel. Legyen \(\displaystyle L\) a láncok száma és ha \(\displaystyle k\) egy kagyló, legyen \(\displaystyle l(k)\) azon láncok száma, amelyben \(\displaystyle k\) szerepel, így az előző megállapítás alapján \(\displaystyle \sum_{k\in G} l(k)\le L\), ahol \(\displaystyle G\) a gyöngyöt tartalmazó kagylók halmazát jelöli. Mivel egy adott generációból mindegyik láncban pontosan egy kagyló szerepel, és egy adott generáció kagylói ugyanannyi láncban szerepelnek (hiszen ugyanannyi utódjuk és ugyanannyi ősük van), ezért ha \(\displaystyle N(k)\) kagyló van a \(\displaystyle k\) kagyló generációjában, \(\displaystyle l(k)=L/N(k)\). Ezért ha \(\displaystyle S_i\) az \(\displaystyle i\)-edik generációban szereplő kagylók halmazát jelöli (ekkor persze \(\displaystyle |S_i|=100\cdot 3^{i-1}\)), akkor felírható a következő:

\(\displaystyle L\geq \sum_{k\in G}l(k)=\sum_{i=1}^{n}|G\cap S_i|\cdot \frac{L}{|S_i|}=\sum_{i=1}^{n}|G\cap S_i|\cdot \frac{L}{100\cdot 3^{i-1}}=\frac{3L}{100}\cdot \sum_{i=1}^{n}|G\cap S_i|\cdot \frac{1}{3^i}=\frac{3L}{100}\cdot \sum_{k\in G}e(k),\)

ahol \(\displaystyle e(k)\) a \(\displaystyle k\) kagyló értékét jelöli. Innen a kagylók összértéke, \(\displaystyle \sum_{k\in G} e(k)\le 100/3\). Mivel ez tetszőleges \(\displaystyle n\) számú generáció esetén teljesül, így \(\displaystyle n\)-nel végtelenbe tartva ez végtelen sok generáció esetén is érvényes. Ez az érték el is érhető, pl. ha az első generációban mind a 100 kagylóban van gyöngy.

Megjegyzés: a megoldás az alábbi általánosabb állítás bizonyítására is alkalmas: ha minden kagylógenerációra igaz az, hogy a benne szereplő egyedeknek ugyanannyi őse van és ugyanannyi leszármazottja van (amiből ugyanúgy következik az a kulcsállítás, hogy egy adott generációban minden kagyló ugyanannyi láncban szerepel), és a kagylók értéke fordítottan arányos azzal, hogy hány darab kagylóból áll a generációjuk (azaz a kulcsmegfigyelés alapján arányos azzal, hogy az adott kagyló hány darab láncban szerepel), akkor nem lehet nagyobb értéket elérni annál, mintha az első generációban minden kagylóban lenne gyöngy.

Statisztika:

21 dolgozat érkezett.
7 pontot kapott:	Aravin Peter, Balla Ignác , Bodor Mátyás, Czanik Pál, Forrai Boldizsár, Gyenes Károly, Holló Martin, Keresztély Zsófia, Kocsis 827 Péter, Minh Hoang Tran, Morvai Várkony Albert, Pázmándi József Áron, Sánta Gergely Péter, Szakács Ábel, Tianyue DAI, Varga Boldizsár, Virág Tóbiás, Vödrös Dániel László, Wágner Márton, Xiaoyi Mo.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2025. januári matematika feladatai