 |
Az A. 911. feladat (2025. szeptember) |
A. 911. Milyen \(\displaystyle n\ge4\) egész számokra igaz, hogy a szabályos \(\displaystyle n\)-szög területe egyenlő valamelyik két átlójának szorzatával?
Hujter Mihály (Budapest) ötletéből
(7 pont)
A beküldési határidő 2025. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen \(\displaystyle \omega=e^{2\pi i/n}\). Az egységkörbe írt szabályos \(\displaystyle n\)-szög területe \(\displaystyle \frac{n}2\sin\frac{360^\circ}{n}\), ezért a feltétel akkor és csak akkor teljesül, ha alkalmas \(\displaystyle 2\le k,m\le n-2\) egészekkel
| \(\displaystyle |\omega^k-1|\cdot|\omega^m-1| = \frac{n}{4}|\omega^2-1|, \) | \(\displaystyle (*) \) |
\(\displaystyle |\omega^k-1|^2|\omega^m-1|^2-\bigg(\frac{n}{4}\bigg)^2|\omega^2-1|^2 = 0, \)
| \(\displaystyle (\omega^k-1)(\omega^{n-k}-1)\cdot(\omega^m-1)(\omega^{n-m}-1) -\bigg(\frac{n}4\bigg)^2(\omega^2-1)(\omega^{n-2}-1) = 0, \) | \(\displaystyle (**) \) |
vagyis ha a \(\displaystyle \omega\) komplex szám gyöke a racionális együtthatós
\(\displaystyle P(x) = (x^k-1)(x^{n-k}-1)\cdot(x^m-1)(x^{n-m}-1) -\bigg(\frac{n}4\bigg)^2(x^2-1)(x^{n-2}-1) \)
polinomnak.
Ugyanakkor \(\displaystyle \omega\) gyöke a \(\displaystyle \Phi_n(x)\) körosztási polinomnak is, ami viszont irreducibilis a racionális együtthatós polinomok körében. Ez csak úgy lehet, ha \(\displaystyle P(x)\) osztható \(\displaystyle \Phi_n(x)\) polinommal, akkor viszont \(\displaystyle (**)\) és \(\displaystyle (*)\) nem csak az \(\displaystyle \omega\) számra, hanem minden primitív \(\displaystyle n\)-edik komplex egységgyökre teljesül.
Összeszorozva \(\displaystyle (*)\)-ot az összes primitív egységgyökre,
\(\displaystyle 4^{\varphi(n)} \ge \prod_{\mathrm{gcd}(r,n)=1} |\omega^{kr}-1|\cdot|\omega^{m r}-1| =\bigg(\frac{n}4\bigg)^{\varphi(n)} \underbrace{\left|\prod_{\mathrm{gcd}(r,n)=1}(\omega^{2r}-1)\right|}_{\text{pozitív egész szám}} \ge\bigg(\frac{n}4\bigg)^{\varphi(n)}, \)
tehát \(\displaystyle n\le 16\).
Ellenőrizve az \(\displaystyle n=4,5,\ldots,16\) eseteket, azt találjuk, hogy \(\displaystyle n=8\)-hoz \(\displaystyle k=2\), \(\displaystyle m=4\), az \(\displaystyle n=12\)-höz pedig \(\displaystyle k=4\), \(\displaystyle m=8\) megfelelő, az \(\displaystyle n\) többi értéke nem lehetséges.
Statisztika:
24 dolgozat érkezett. 7 pontot kapott: Diaconescu Tashi, Forrai Boldizsár, Rajtik Sándor Barnabás, Xiaoyi Mo. 6 pontot kapott: Tianyue DAI. 5 pontot kapott: 1 versenyző. 4 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2025. szeptemberi matematika feladatai