Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3818. feladat (2005. április)

B. 3818. Egy tetraédernek van egy olyan csúcsa, amelyből kiinduló három él mindegyike egység hosszúságú, és közülük bármely kettő 45 fokos szöget zár be egymással. Számítsuk ki a tetraéder térfogatát.

Cserti József (Budapest) javaslata alapján

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. május 17-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen az adott csúcs O. A tertraéder O-val szemközti lapja egy ABC szabályos háromszög, melynek a élhosszát meghatározhatjuk, ha az OAB háromszögre felírjuk a koszinusz-tételt:

a^2=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cos45^\circ=2-\sqrt{2}.

Az ABC háromszög magassága m=\sqrt{3}a/2, vagyis a háromszög területe T=am/2=\sqrt{3}a^2/4. Ha a háromszög középpontját S jelöli, akkor AS=2m/3, vagyis AS2=a2/3. Az OSA derékszögű háromszögre a Pithagorasz-tételt felírva számíthatjuk ki a tetraéder h magasságát:

h^2=OS^2=OA^2-AS^2=1-{2-\sqrt{2}\over 3}={1+\sqrt{2}\over 3}.

A tetraéder térfogata tehát

V={1\over 3}Th={1\over 3}\cdot{\sqrt{3}(2-\sqrt{2})\over 4}\cdot
{\sqrt{1+\sqrt{2}}\over \sqrt{3}}=
{(2-\sqrt{2})\sqrt{1+\sqrt{2}}\over 12}.


Statisztika:

138 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:95 versenyző.
3 pontot kapott:30 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:6 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.

A KöMaL 2005. áprilisi matematika feladatai