A B. 3824. feladat (2005. május)

B. 3824. Egy tetraéder minden csúcsát tükrözzük a szemközti lap súlypontjára. Mutassuk meg, hogy a tükörképek által meghatározott tetraéder térfogata legalább négyszerese az eredeti tetraéder térfogatának.

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyenek a tetraéder csúcsai A,B,C,D, az ezekbe mutató helyvektorok pedig a,b,c,d. A BCD lap súlypontjának helyvektora (b+c+d)/3, ezért az A csúcs A' tükörképének helyvektora

$a'={b+c+d\over 3}+\Bigl({b+c+d\over 3}-a\Bigr)={2b+2c+2d-3a\over 3}.$

Hasonlóképpen a B,C,D csúcsok B',C',D' tükörképének helyvektora rendre

$b'={2a+2c+2d-3b\over 3},\quad c'={2a+2b+2d-3c\over 3},\quad d'={2a+2b+2c-3d\over 3}.$

Ezért

$\overrightarrow{A'B'}={2a+2c+2d-3b\over 3}-{2b+2c+2d-3a\over 3}= {5a-5b\over 3}=-{5\over 3}\overrightarrow{AB}.$

Hasonlóképpen, $\overrightarrow{A'C'}=-(5/3)\overrightarrow{AC}$ és $\overrightarrow{A'D'}=-(5/3)\overrightarrow{AD}$ . Az A'B'C'D' tetraéder tehát hasonló az ABCD tetraéderhez, a hasonlóság aránya pedig 5/3. A tükörképek által meghatározott tetraéder térfogata ezek szerint pontosan (5/3)³=125/27-szerese az eredeti tetraéder térfogatának. Mivel 125/27>4, az allítást bebizonyítottuk, egyenlőség pedig nem állhat fenn.

Statisztika:

38 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Bitai Tamás, Bodzsár Erik, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csató László, Dányi Zsolt, Darázs Zoltán, Gombkötő Tamás, Hujter Bálint, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kecskeméti Szabolcs, Kiss-Tóth Christian, Kómár Péter, Komáromy Dani, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Lorántfy Bettina, Mátyás Péter, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Nagy 317 Péter, Nagy-Baló András, Pesti Veronika, Sümegi Károly, Szirmai Péter, Tomon István, Tossenberger Anna, Tóthmérész Lilla.

3 pontot kapott: Cseh Ágnes, Csorba János, Gehér György, Kisfaludi-Bak Sándor, Klimaj Zoltán, Páldy Sándor, Poronyi Balázs, Szabó Levente, Szalóki Dávid.

A KöMaL 2005. májusi matematika feladatai

38 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bitai Tamás, Bodzsár Erik, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csató László, Dányi Zsolt, Darázs Zoltán, Gombkötő Tamás, Hujter Bálint, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kecskeméti Szabolcs, Kiss-Tóth Christian, Kómár Péter, Komáromy Dani, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Lorántfy Bettina, Mátyás Péter, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Nagy 317 Péter, Nagy-Baló András, Pesti Veronika, Sümegi Károly, Szirmai Péter, Tomon István, Tossenberger Anna, Tóthmérész Lilla.
3 pontot kapott:	Cseh Ágnes, Csorba János, Gehér György, Kisfaludi-Bak Sándor, Klimaj Zoltán, Páldy Sándor, Poronyi Balázs, Szabó Levente, Szalóki Dávid.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?