Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3832. feladat (2005. szeptember)

B. 3832. Az ABC derékszögű háromszög AB átfogójának tetszőleges pontja P, C-ből induló magasságának talppontja C1. P vetülete az AC befogón A1, a BC-n B1.

a) Bizonyítsuk be, hogy a P, A1, C, B1, C1 pontok egy körön vannak.

b) Bizonyítsuk be, hogy az A1B1C1 és az ABC háromszögek hasonlók.

(3 pont)

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.


Megoldás. (a) A pontok definíciója szerint a PA1C, PB1C, PC1C szögek mind derékszögek. A Thálész tétel megfordítása szerint tehát az A1, B1, C1 pontok a PC átmérőjű körön vannak. Mivel A1CB1\angle=90o, ennek a körnek A1B1 egy másik átmérője.

(b) Az ABC és CBC1 derékszögű háromszögek szögeit összeszámolva kapjuk, hogy

BAC\angle=90o-ABC\angle=BCC1\angle.

A CA1C1B1 négszög, mint láttuk, húrnégyszög. A kerületi szögek tétele szerint például

B1CC1\angle=B1A1C1\angle.

Tehát az ábrán pirossal jelölt szögek egyenlők.

Hasomlóan, az A és B, illetve A1 é B1 pontok szerepének felcserélésével kapjuk, hogy a kékkel jelölt szögek is egyenlők.

A C1 pont rajta van az A1B1 átmérőjű körön, tehát A1C1B1\angle=90o.

Az ABC és A1B1C1 háromszögek megfelelő szögei megegyeznek, tehát a két háromszög hasonló.


Statisztika:

384 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:205 versenyző.
2 pontot kapott:64 versenyző.
1 pontot kapott:98 versenyző.
0 pontot kapott:14 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai