Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3856. feladat (2005. november)

B. 3856. Mutassuk meg, hogy ha a2+b2=a2b2, és |a|\ne1, |b|\ne1, akkor

\frac{a^7}{{(1-a)}^2}- \frac{a^7}{{(1+a)}^2}= \frac{b^7}{{(1-b)}^2}- \frac{b^7}{{(1+b)}^2}.

(3 pont)

A beküldési határidő 2005. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás: A feltételek alapján mindegyik tört értelmes. A nevezőkkel való felszorzás és 2-vel történő leosztás után a bizonyítandó egyenlőség az

a8(1-b)2(1+b)2=b8(1-a)2(1+a)2

alakot ölti. Ezt az A=a2, B=b2 jelölésekkel A4(1-B)2=B4(1-A)2 alakba írhatjuk át. Elegendő tehát az A2(1-B)=B2(1-A) egyenlőséget igazolni. A zárójelek kibontása és rendezés után ez így néz ki: A2-B2+AB2-BA2=0. A baloldali kifejezést (A-B)(A+B-AB) szorzat alakban felírva az állítás leolvasható, hiszen az első feltétel miatt itt a második tényező 0-val egyenlő.

Statisztika:

245 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:129 versenyző.
2 pontot kapott:64 versenyző.
1 pontot kapott:24 versenyző.
0 pontot kapott:27 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2005. novemberi matematika feladatai