Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3876. feladat (2006. január)

B. 3876. Milyen távolságra van egymástól az egységkocka két szomszédos lapján lévő (egymást nem metsző) lapátlója?

Javasolta: Kiss Sándor, Szatmárnémeti

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. február 15-én LEJÁRT.


1. megoldás: Legyen a kocka alaplapja ABCD, a fedőlapja EFGH a szokásos módon betűzve. Helyezzük el a kockát úgy a derékszögű koordinátarendszerben, hogy az A csúcs az origóba kerüljön, a B,D és E csúcsok koordinátái pedig rendre (1;0;0), (0;1;0), illetve (0;0;1) legyenek. Szimmetria okok miatt mindegy, melyik két átlót vizsgáljuk, legyenek ezek AF és EG. Az AF átló pontjainak koordinátái (x;0;x), ahol 0\lex\le1, míg az EG átló pontjai (y;y;1), ahol 0\ley\le1. A két átló egy-egy pontjának d távolságát a térbeli Pithagorasz-tétel alapján így határozhatjuk meg:

d^2=(y-x)^2+y^2+(1-x)^2={1\over 2}(x-2y)^2+{3\over 2}\Bigl( x-{2\over 3}
\Bigr)^2+{1\over 3}\ge {1\over 3}.

Itt egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha x=2/3 és y=1/3, vagyis ha az AF átló F-hez közelebbi X, az EG átlónak pedig E-hez közelebbi Y harmadolópontjáról van szó. A két lapátló távolsága ezek szerint 1/ \sqrt{3}.

2. megoldás: Megmutatjuk, hogy az XY szakasz mindkét átlóra merőleges, amiből következik, hogy X és Y a kitérő AF, EG egyenesek két, egymáshoz legközelebb eső pontja. Mind az EGD, mind az AFC sík merőleges a \sqrt{3} hosszúságú BH testátlóra. Ha a BAEH töröttvonal 1/3-ára kicsinyített képét az X pontból indítjuk el, akkor éppen az Y pontba jutunk, vagyis az XY szakasz párhuzamos a BH szakasszal, és egyharmad olyan hosszú. Ezért XY is merőleges az AF és EG egyenesekre, hossza pedig 1/ \sqrt{3}.


Statisztika:

144 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Almási 270 Gábor András, Anda Roland, Csaba Ákos, Cserép Gergely, Damásdi Eszter, Dányi Zsolt, Elekes Csaba, Farkas Ádám László, Grósz Dániel, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Imre Gábor, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Ketskeméty Kristóf, Kirilly György, Kiss 243 Réka, Komáromy Dani, Kornis Bence, Kovács 129 Péter, Kristóf Panna, Kriván Bálint, Kunovszki Péter, Kutas Péter, Páldy Sándor, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Salát Zsófia, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 222 Barnabás, Tóthmérész Lilla, Treszkai László, Udvari Balázs, Werner Miklós.
3 pontot kapott:34 versenyző.
2 pontot kapott:12 versenyző.
1 pontot kapott:10 versenyző.
0 pontot kapott:44 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2006. januári matematika feladatai