A B. 3881. feladat (2006. január)

B. 3881. Legyenek a, b, c olyan racionális számok, amelyekre

$\big(a+b\root3\of{2} + c\root3\of{4}\,\big)^{3}$

is racionális. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az a, b, c számok közül legalább kettő nulla.

Javasolta: Fried Ervin, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Először megmutatjuk, hogy ha az a,b,c racionális számokra $a+b\root3\of{2} + c\root3\of{4}=0$ , akkor a=b=c=0. Nyilván nem lehet, hogy az a,b,c számok közül pontosan egy legyen 0. Ha pontosan kettő lenne 0, akkor abból következne, hogy $\root3\of{2}$ vagy $\root3\of{4}$ racionális. Ha pedig mindhárom különbözne 0-tól, akkor alkalmas u,v $\ne$ 0 racionális számokkal $u+v \root3\of{2}= \root3\of{4}$ lenne, ahonnan

$4=\big(u+v \root3\of{2}\big)^3=u^3+2v^3+3u^2v\root3\of{2}+3uv^2\root3\of{4},$

vagyis

$(u^3+2v^3+3u^2v^2-4)+(3u^2v+3uv^3)\root3\of{2}=0$

következne. Itt mindkét együtthatónak 0-nak kell lenni. Mivel u,v $\ne$ 0, a 3u²v+3uv³=0 összefüggésből u=-v² következik, ezt az u³+2v³+3u²v²-4=0 összefüggésbe beírva 2v⁶+2v³-4=0 adódik, ahonnan v³ lehetséges értéke -2 vagy 1. Mivel v racionális, kapjuk, hogy v³=1, v=1, u=-1, ám $-1+\root3\of{2}=\root3\of{4}$ nem teljesül, hiszen az egyik szám 1-nél kisebb, a másik pedig 1-nél nagyobb. Tehát ez az eset sem lehetséges. A bizonyított állításból pedig következik, hogy ha alkalmas a,b,c racionális számokkal $a+b\root3\of{2} + c\root3\of{4}$ racionális, akkor szükségképpen b=c=0.

A feladatban szereplő számra a hatványozást elvégezve, ez a szám $x+y\root3\of{2} + z\root3\of{4}$ alakba írható, ahol

$x=a^3+2b^3+4c^3+12abc,\ y=3a^2b+6ac^2+6b^2c,\ z=3ab^2+3a^2c+6bc^2.$

Megjegyzésünk szerint y=z=0, vagyis a²b+2ac²+2b²c=0 és ab²+a²c+2bc²=0. Az első egyenletet c-vel, a másodikat b-vel szorozva, majd az így kapott két egyenletet egymásból kivonva a 2ac³-ab³=0 egyenletre jutunk. Ha a $\ne$ 0, akkor innen 2c³=b³, ami csak b=c=0 esetén teljesülhet. Ha pedig a=0, akkor azt az első egyenletbe beírva 2b²c=0 adódik, ami csak úgy teljesülhet, ha b és c valamelyike szintén 0.

Statisztika:

45 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Blázsik Zoltán, Honner Balázs, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Márton, Komáromy Dani, Kovács 129 Péter, Kutas Péter, Mészáros Gábor, Milotai Zoltán, Nagy 235 János, Németh 007 Zsolt, Pálovics Róbert, Pásztor Attila, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Tomon István, Udvari Balázs.

4 pontot kapott: Csizmadija Laura, Sárkány Lőrinc.

3 pontot kapott: 3 versenyző.

2 pontot kapott: 7 versenyző.

1 pontot kapott: 2 versenyző.

0 pontot kapott: 9 versenyző.

A KöMaL 2006. januári matematika feladatai

45 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Blázsik Zoltán, Honner Balázs, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Márton, Komáromy Dani, Kovács 129 Péter, Kutas Péter, Mészáros Gábor, Milotai Zoltán, Nagy 235 János, Németh 007 Zsolt, Pálovics Róbert, Pásztor Attila, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Tomon István, Udvari Balázs.
4 pontot kapott:	Csizmadija Laura, Sárkány Lőrinc.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?