Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3891. feladat (2006. február)

B. 3891. Tegyük fel, hogy x és y racionális számok, amelyekre x5+y5=2x2y2. Bizonyítsuk be, hogy 1-xy egy racionális szám négyzete.

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. március 16-án LEJÁRT.


Megoldás: Az egyenlőséget átrendezve kapjuk, hogy x2(x3-y2)=y2(x2-y3). Másrészt

(x3-y2)(x2-y3)=x5+y5-x2y2(xy+1)=x2y2(1-xy).

Ha x és y közül valamelyik 0, akkor 1-xy=1, egyébként pedig a fönti két összefüggés alapján

1-xy={(x^3-y^2)(x^2-y^3)\over x^2y^2}={(x^3-y^2)^2\over y^4},

ami valóban egy racionális szám négyzete.


Statisztika:

54 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Blázsik Zoltán, Csató László, Cseh Ágnes, Cserép Gergely, Cserép Máté, Farkas Márton, Fegyverneki Tamás, Fodor Emese Zsófia, Godó Zita, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Márton, Kiss 243 Réka, Komáromy Dani, Kornis Bence, Kornis Kristóf, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kovács 333 Veronika, Kriván Bálint, Kurgyis Eszter, Láng Marcell, Lovász László Miklós, Mészáros Gábor, Móri Bálint, Nagy 235 János, Páldy Sándor, Pálovics Róbert, Peregi Tamás, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szirmai Péter, Szolnoki Lénárd, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Tomon István, Tossenberger Anna, Tóth 796 Balázs, Török Balázs, Varga 171 László, Varga 868 András, Véges Márton.
4 pontot kapott:Szakács Nóra.
3 pontot kapott:5 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2006. februári matematika feladatai