Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3900. feladat (2006. március)

B. 3900. Határozzuk meg azokat az (a1;a2) pozitív egész számpárokat, amelyekre az a_{n+2}=\frac{a_n+a_{n+1}}{(a_n,a_{n+1})} (n\ge1) rekurzióval definiált sorozat periodikus.

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. április 18-án LEJÁRT.


Megoldás: Nyilván a sorozat minden tagja pozitív egész. Legyen (an,an+1)=dn, ekkor an+1 és an=dnan+2-an+1, következésképpen dn is osztható dn+1-gyel. Ha az an sorozat az i-edik tagtól kezdve periodikus, akkor ugyanez igaz a dn sorozatra, vagyis ekkor d_i=d_{i+1}=d_{i+2}=\ldots=d. Ha d=1 lenne, akkor a sorozat az i-edik tagtól kezdve szigorúan monoton nőne, vagyis nem lenne periodikus, a d\ge3 esetben pedig az

a_{n+3}+a_{n+2}=a_{n+1}\Bigl({2\over d}+{1\over d^2}\Bigr)+
a_n \Bigl({1\over d}+{1\over d^2}\Bigr)<a_{n+1}+a_n

becslés alapján jutnánk ellentmondásra. Tehát d=2. Ekkor viszont n\gei esetén

a_{n+2}-a_{n+1}=-{a_{n+1}-a_n\over 2}

miatt a_i=a_{i+1}=a_{i+2}=\ldots, ellenkező esetben az ugyancsak periodikus |an+1-an| sorozat szigorúan csökkenő lenne. Az an számok közös értéke csak 2 lehet, és ebből a_{i-1}=a_{i-2}=\ldots=a_2=a_1=2 is következik indukcióval.


Statisztika:

38 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Blázsik Zoltán, Csató László, Cserép Gergely, Cserép Máté, Győrffy Lajos, Honner Balázs, Károlyi Gergely, Kassay Gábor, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Mészáros Gábor, Milotai Zoltán, Nagy 235 János, Páldy Sándor, Pásztor Attila, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szakács Nóra, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szolnoki Lénárd, Szudi László, Szűcs Gergely, Tomon István, Udvari Balázs, Varga 171 László.
4 pontot kapott:Nagy 314 Dániel, Priksz Ildikó, Sárkány Lőrinc, Tóthmérész Lilla, Varga 868 András.
3 pontot kapott:3 versenyző.
2 pontot kapott:2 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2006. márciusi matematika feladatai