Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3913. feladat (2006. május)

B. 3913. Tekintsük az alábbi két számhalmazt:


A=\left\{ \frac{3n-4}{5n-3}\colon n \in \mathbb{Z}\right\} \quad \mbox{\'es}\quad B=\left\{
\frac{4k-3}{7k-6}\colon k\in \mathbb{Z}\right\}.

Hány eleme van az A\capB halmaznak?

(3 pont)

A beküldési határidő 2006. június 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Könnyű ellenőrizni, hogy

\frac{3n-4}{5n-3}=\frac{3n'-4}{5n'-3}

esetén n=n', vagyis különböző n értékekre az A halmaz különböző elemeit kapjuk. Hasonló állítás igaz a B halmaz esetében is. Azt kell tehát meghatároznunk, hogy hány olyan egészekből álló n,k számpár van, amelyre

\frac{3n-4}{5n-3}=\frac{4k-3}{7k-6}.

Mivel a nevezőkben soha nem áll 0, a feltétel ekvivalens a

(3n-4)(7k-6)=(4k-3)(5n-3)

feltétellel, ami egyszerű átalakításokkal

(n-16)(k-3)=33

alakra hozható. A 33=3.11 számnak 4 pozitív és ugyanennyi negatív osztója van. Ezért a megfelelő n,k számpárok száma 8, ennyi közös eleme van tehát az A és B halmaznak.


Statisztika:

103 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:Árvay Anna, Balogh 147 Ádám, Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Csató László, Cséke Balázs, Cserép Gergely, Csizmadija Laura, Csorba János, Dányi Zsolt, Dombi Soma, Faragó Kornél, Grósz Dániel, Gyöngyösi Zsolt, Gyurcsik Judit, Herber Máté, Héricz Dalma, Horváth 385 Vanda, Hotzi Bernadette, Kardos Kinga Gabriela, Kiss 243 Réka, Kiss Blanka, Kunovszki Péter, Mészáros Gábor, Müller Márk, Németh 007 Zsolt, Orosz Katalin, Pásztor Attila, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Salát Zsófia, Sümegi Károly, Szabó Levente, Szalóki Dávid, Szirmai Péter, Szívós Eszter, Szórádi Márk, Szudi László, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Tóth 222 Barnabás, Tóthmérész Lilla, Varga 171 László, Vásárhelyi Bálint Márk, Vörös Tamás, Wolosz János.
2 pontot kapott:39 versenyző.
1 pontot kapott:6 versenyző.
0 pontot kapott:11 versenyző.

A KöMaL 2006. májusi matematika feladatai