A B. 3915. feladat (2006. május)

B. 3915. Az ABC háromszög minden oldalát p egyenlő részre osztottuk, ahol p prímszám. Ezután minden oldalról egy-egy osztópontot összekötöttünk a háromszög szemben lévő csúcsával úgy, hogy e három egyenes egy ponton megy át. Határozzuk meg p lehetséges értékeit.

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Tegyük fel, hogy az AB oldalon az A-tól számított c-edik, a BC oldalon a B-től számított a-adik, a CA oldalon pedig a C-től számított b-edik osztópontot kötöttük össze rendre a C, A, illetve B csúccsal, ahol tehát a,b,c   p-nél kisebb pozitív egészek. Ekkor a Ceva-tétel szerint

vagyis abc=(p-a)(p-b)(p-c). Innen

2abc=p³-(a+b+c)p²+(ab+ac+bc)p,

vagyis 2abc osztható a p prímszámmal. Mivel pedig p az a,b,c számokhoz relatív prím, p osztója a 2-nek, vagyis p=2. Ebben az esetben mindhárom egyenes a súlyponton megy át.

Statisztika:

58 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Almási 270 Gábor András, Bartha Éva Lili, Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Cserép Máté, Csorba János, Dányi Zsolt, Dombi Soma, Farkas Ádám László, Godó Zita, Győrffy Lajos, Herber Máté, Honner Balázs, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kiss Blanka, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kurgyis Eszter, Kutas Péter, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Nagy 314 Dániel, Nagy-Baló András, Németh Kitti Noémi, Pásztor Attila, Peregi Tamás, Prőhle Zsófia, Salát Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szőke Nóra, Szudi László, Szűcs Gergely, Tallián György, Tomon István, Tossenberger Anna, Udvari Balázs, Vajsz Tibor, Varga 171 László, Véges Márton, Wolosz János.
3 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2006. májusi matematika feladatai