A B. 3924. feladat (2006. szeptember)

B. 3924. 27 szabályos dobókockából úgy ragasztottunk össze egy 3×3×3-as kockát, hogy bármely két illeszkedő kis kockán azonos számú pötty van az illeszkedő lapokon. Hány pötty van a nagy kocka felszínén?

Gondolkodás Iskolája, Élet és Tudomány

(3 pont)

A beküldési határidő 2006. október 16-án LEJÁRT.

Megoldás: A nagy kocka felszíne 54 kis négyzetlapból áll össze, ahol minden egyes kis négyzetlap valamelyik dobókockának az egyik lapja. Ezekből 27 párt képezhetünk a következő módon. Válasszuk ki valamelyik kis négyzetlapot (L), és annak síkjára merőlegesen fúrjuk át a kockát az L középpontján áthaladó e egyenessel. Az L négyzetlap párja legyen az a másik kis L' négyzetlap, amelynek középpontján e áthalad.

Az e egyenes három dobókockát döf át, ezek közül az elsőnek az egyik lapja L, a harmadiknak pedig az egyik lapja L'. Ha az L-en x számú pötty van, akkor az első dobókockának L-lel párhuzamos másik lapján 7-x pötty van, az ehhez illeszkedő második kocka L-lel párhuzamos lapjain tehát 7-x, illetve 7-(7-x)=x pötty van, a harmadik kocka L-lel párhuzamos lapjain pedig ezek szerint ismét x, illetve 7-x. Az L' lapon tehát 7-x pötty, az egymással párba állított L és L' lapokon pedig együttesen 7 pötty látható. A nagy kocka felszínén ennek megfelelően 27^.7=189 pötty van.

Statisztika:

463 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	312 versenyző.
2 pontot kapott:	110 versenyző.
1 pontot kapott:	32 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2006. szeptemberi matematika feladatai