Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3937. feladat (2006. október)

B. 3937. Három vékony fémpálcából 8, 15, 17 cm oldalú háromszöget forrasztottunk, és a vízszintesen tartott háromszög vázra egy 5 cm sugarú tömör gömböt helyeztünk. Milyen arányban osztja a háromszög síkja a gömb térfogatát?

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. november 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Válasszuk a cm-t egységnek. Mivel 82+152=172, a háromszög derékszögű, területe t=8.15/2=60, kerülete pedig k=40. Ezek alapján beírt körének sugara r=2t/k=3, ekkora sugarú körben metszi tehát a háromszög S síkja az R=5 sugarú gömböt. A Pitagorasz-tétel szerint a gömb középpontja d=4 egység távolságra van az S síktól. Az S által levágott gömbszelet magassága tehát h=R-d=1, így a gömbszelet térfogata V1=h(3r2+h2)\pi/6=28\pi/6, míg az egész gömb térfogata V=4R3\pi/3=1000\pi/6. A keresett arány ezek szerint V1:(V-V1)=28:972=7:243.


Statisztika:

309 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:188 versenyző.
3 pontot kapott:55 versenyző.
2 pontot kapott:32 versenyző.
1 pontot kapott:17 versenyző.
0 pontot kapott:11 versenyző.
Nem versenyszerű:6 dolgozat.

A KöMaL 2006. októberi matematika feladatai