Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3940. feladat (2006. október)

B. 3940. Adott három egyenes a síkon: a, o és c. Tekintsük azokat az ABCD négyzeteket, amelyeknek A csúcsa az a egyenesre, a vele szemközti C csúcs a c egyenesre, míg a négyzet O középpontja az o egyenesre illeszkedik. Határozzuk meg a B és D csúcsok mértani helyét.

Javasolta: Danka Miklós és Kalló Bernát (Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn., 9. évf.)

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. november 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Ha a három egyenes egybeesik, akkor a mértani hely az a két nyílt félsík, amelyek erre az egyenesre támaszkodnak. Ha a=c\neo és o párhuzamos a-val, akkor a mértani hely üres, ha pedig o metszi a-t az O pontban, akkor a mértani hely az a-ra O-ban emelt merőleges egyenesnek O-tól különböző pontjai. Ha a és c egymással párhuzamosak, de nem egyeznek meg, akkor o vagy metszi ezt a két egyenest az E és F pontokban, vagy párhuzamos velük. Az első esetben az a,c egyenespárt az EF szakasz középpontja körül 90o-kal elforgatva kapjuk a mértani helyet. A második esetben a mértani hely vagy üres, vagy pedig az egész sík, ha o éppen az a és c egyenesek középpárhuzamosa.

A továbbiakban feltesszük, hogy az a és c egyenesek metszik egymást egy M pontban. Az esetlegesen előforduló O=M esettől eltekintve (M nem lehet a négyzet középpontja, mert akkor a négyzet csúcspontjai egybeesnének) az o egyenes minden O pontjához pontosan két olyan ABCD négyzet található, amely megfelel a követelményeknek, és ez a két négyzet csak a csúcsok körüljárásának sorrendjében tér el egymástól. A B és D csúcsok egyikét (pozitív körüljárási irányt feltételezve a B-t) úgy kapjuk, hogy az a egyenest pozitív, a c-t pedig negatív irányban forgatjuk el 90o-kal az O körül, és az így nyert a'(O) és c'(O) egyenesek metszéspontját vesszük, D pedig azon a''(O) és c''(O) egyenesek metszéspontja lesz, amelyeket az a és a c egyenesekből kapunk úgy, hogy azokat O körül rendre negatív, illetve pozitív irányban forgatjuk el 90o-kal.

Legyen O1,O2,O3 az o egyenes három különböző pontja, az ezekhez tartozó pozitív körüljárású ABCD négyzetek B csúcsát pedig jelölje rendre B1,B2,B3. Azt állítjuk, hogy ha {\ora{O_1O_3}}=\alpha{\ora{O_1O_2}}, akkor {\ora{B_1B_3}}=\alpha 
{\ora{B_1B_2}}. Ennek belátásához legyen az o egyenesnek a-val és c-vel vett metszéspontja Oa, illetve Oc. Az Oi pont vetületét az a egyenesre jelölje Xi, ezt Oi körül pozitív irányban 90o-kal elforgatva kapjuk az Yi pontot, amely Oi-nek az a'(Oi)-re eső merőleges vetülete. A párhuzamos szelők tétele miatt

O1Y1:O2Y2:O3Y3=O1X1:O2X2:O3X3=O1Oa:O2Oa:O3Oa.

Mivel az O1Y1,O2Y2,O3Y3 szakaszok párhuzamosak egymással, ebből következik, hogy

Y1Oa:Y2Oa:Y3Oa=O1Y1:O2Y2:O3Y3=O1Oa:O2Oa:O3Oa,

vagyis {\ora{Y_1Y_3}}=\alpha{\ora{Y_1Y_2}}. Ennélfogva tetszőleges v vektorra, amellyel való eltolás az a'(O1) egyenest az a'(O2) egyenesbe viszi, igaz az, hogy az \alphav vektorral való eltolás az a'(O1) egyenest az a'(O3) egyenesbe viszi. Az a és c egyenesek szerepét felcserélve hasonló módon kapjuk azt is, hogy tetszőleges w vektorra, amellyel való eltolás a c'(O1) egyenest a c'(O2) egyenesbe viszi, igaz az, hogy az \alphaw vektorral való eltolás a c'(O1) egyenest a c'(O3) egyenesbe viszi. Ebből pedig az a'(Oi) és c'(Oi) egyenesek Bi metszéspontjaira fennálló {\ora{B_1B_3}}=\alpha {\ora{B_1B_2}} összefüggés már könnyen leolvasható.

Az elmondottak alapján a B pont mértani helye vagy egyetlen pont, vagy egy egész egyenes, és nyilván hasonló állítás érvényes a D pontra is. A B pont mértani helyét úgy kaphatjuk meg, hogy kiválasztjuk az O egyenes 2 különböző O1,O2 pontját majd a fenti eljárás szerint megkeressük a B1,B2 pontokat. Ha B1=B2, akkor a B pont mértani helye ez az egyetlen pont, egyébként pedig a teljes B1B2 egyenes. A B és D csúcsok együttes mértani helye pedig vagy két egyenes, vagy pedig egy egyenes és egy arra nem illeszkedő pont lesz.


Statisztika:

30 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Éles András, Kunos Ádám, Peregi Tamás, Sümegi Károly, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szűcs Gergely, Wolosz János.
4 pontot kapott:Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Kornis Kristóf, Sárkány Lőrinc, Tossenberger Anna.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:10 versenyző.

A KöMaL 2006. októberi matematika feladatai