Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3951. feladat (2006. november)

B. 3951. Tegyük fel, hogy a, b, n, k pozitív egészek, n páratlan, p páratlan prímszám, és an+bn=pk. Igazoljuk, hogy az n a p-nek nemnegatív egész kitevős hatványa.

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. február 15-én LEJÁRT.


Megoldás. Ha a és b legnagyobb közös osztója d, akkor (a/d)n+(b/d)n=pk/dn 1-nél nagyobb egész szám, vagyis p^k/d^n=p^\ell, ahol \ell pozitív egész szám. Ezért elég az állítást abban az esetben igazolni, ha a és b relatív prímek. Ha a és b közül valamelyik, mondjuk a osztható lenne p-vel, akkor bn, vagyis b is osztható lenne p-vel. Feltehetjük tehát, hogy sem a, sem b nem osztható p-vel.

Ezen feltevés mellett legyen n=p^\alpha t, ahol \alpha nemnegatív egész szám, t pedig olyan páratlan pozitív egész szám, amely p-vel nem osztható. Azt kell megmutatnunk, hogy ekkor t=1. Tegyük fel ezzel ellentétben, hogy t>1. Ekkor az A=an/t, B=bn/t pozitív egész számokra At+Bt=pk, továbbá A és B nem osztható p-vel. Nem lehet A=B=1, hiszen akkor p=2, k=1 lenne (ez az a pont, ahol kihasználjuk p páratlan voltát), ezért A+B az At+Bt szám valódi osztója. Alkalmas 0<i<k egész számmal tehát A+B=pi, és így az

A^t+B^t=(A+B)(A^{t-1}-A^{t-2}B+A^{t-3}B^2-\ldots+B^{t-1})

azonosság miatt

A^{t-1}-A^{t-2}(p^i-A)+A^{t-3}(p^i-A)^2-\ldots+(p^i-A)^{t-1}=p^{k-i}

adódik. A baloldalon álló számot alkalmas N egész számmal tAt-1+piN alakba írhatjuk át. Mivel sem t, sem A nem osztható p-vel, a baloldalon álló szám sem osztható p-vel, ellentétben a jobb oldalon álló pk-i számmal. Ez az ellentmondás bizonyítja, hogy valóban t=1, n=p^\alpha.


Statisztika:

63 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Ágoston Tamás, Dinh Van Anh, Kunos Ádám, Nagy 648 Donát, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Varga 171 László, Wolosz János.
4 pontot kapott:Blázsik Zoltán, Dobribán Edgár, Éles András, Páldy Sándor, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Véges Márton.
3 pontot kapott:6 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:36 versenyző.

A KöMaL 2006. novemberi matematika feladatai