A B. 3954. feladat (2006. december)

B. 3954. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

$x^2 - 4\sqrt{3x-2} + 6 = y,$

$y^2 - 4\sqrt{3y-2}+ 6 = x.$

Forrás: Oláh György: Határon túli matematika versenyek

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Legyen $f(x)=x^2 - 4\sqrt{3x-2} + 6$ , ez pontosan x $\ge$ 2/3 esetén van értelmezve. Megmutatjuk, hogy az értelmezési tartomány minden x pontjában f(x) $\ge$ x, és egyenlőség csakis x=2 esetén teljesül. Mivel az egyenletrendszer f(x)=y,f(y)=x alakú, vagyis f(f(x))=x és f(f(y))=y, az egyenletrendszert emiatt csakis az x=y=2 számpár elégítheti ki, és az ki is elégíti.

A bizonyítandó f(x) $\ge$ x egyenlőtlenséget hozzuk

$x^2-x+6\ge 4\sqrt{3x-2}$

alakra. Itt x²-x+6 minden x valós számra pozitív, ezért x $\ge$ 2/3 esetén f(x) $\ge$ x ekvivalens az

(x²-x+6) $\ge$ 16(3x-2)

egyenlőtlenséggel, amit

x⁴-2x³+13x²-60x+68 $\ge$ 0

alakba írhatunk át. A baloldali kifejezésből az x-2 tényezőt egymás után kétszer kiemelve azt (x-2)²(x²+2x+17) alakra hozhatjuk, amiről látszik, hogy mindig nemnegatív, és a 0 értéket csak x=2 esetén veszi fel.

Statisztika:

145 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 70 versenyző.

3 pontot kapott: 37 versenyző.

2 pontot kapott: 21 versenyző.

1 pontot kapott: 7 versenyző.

0 pontot kapott: 10 versenyző.

A KöMaL 2006. decemberi matematika feladatai

145 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	70 versenyző.
3 pontot kapott:	37 versenyző.
2 pontot kapott:	21 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?