Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3957. feladat (2006. december)

B. 3957. Az ABC háromszög AB oldalának egy belső pontja D. Az ABC háromszög beírt köre az AB oldalt a P pontban érinti, az ADC és a DBC háromszögek beírt körei Q-ban, illetve R-ben érintik a DC oldalt.

Mutassuk meg, hogy DP=QR.

(3 pont)

A beküldési határidő 2007. január 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Jelöljük a háromszög oldalait szokás szerint a,b,c-vel, az CD szakasz hosszát d-vel. Legyen továbbá AD=a', BD=b', és érintse az ABC háromszög beírt köre az AC oldalt az S, a BC oldalt pedig az T pontban. Ekkor AP+BP=c valamint AP-BP=AS-BT=b-a, ahonnan AP=(c+b-a)/2, vagyis

DP=\Bigl| a'-\frac{c+b-a}{2}\Bigr|=\frac{|2a'-b-c+a|}{2}=
\frac{|a'-b'-b+a|}{2},

hiszen a'+b'=c. Ugyanilyen gondolatmenettel kapjuk, hogy DQ=(d+a'-b)/2 és DR=(d+b'-a)/2, ahonnan

QR=|DQ-DR|=\Bigl| \frac{d+a'-b}{2}-\frac{d+b'-a}{2}\Bigr|=
\frac{|a'-b-b'+a|}{2}=DP.


Statisztika:

100 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:Almási 270 Gábor András, Balla Attila, Bartha Zsolt, Bujtás László, Dinh Van Anh, Éles András, Fonyó Dávid, Kis-Benedek Ágnes, Kriván Bálint, Kunos Ádám, Mészáros András, Nagy 314 Dániel, Németh Kitti Noémi, Peregi Tamás, Rózsa Levente, Szalkai Balázs, Szigetvári Áron, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Vincze Ákos, Wagner Zsolt.
2 pontot kapott:68 versenyző.
1 pontot kapott:6 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.

A KöMaL 2006. decemberi matematika feladatai