Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3988. feladat (2007. március)

B. 3988. Egy konvex ötszög oldalainak felezőpontjai F1, F2, F3, F4, F5, ebben a sorrendben (az F5 és az F1 felezőpontokat tartalmazó oldalak közös csúcsa A). Legyen P az a pont a síkban, amelyre a PF2F3F4 négyszög paralelogramma. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a PF5AF1 négyszög is paralelogramma.

(3 pont)

A beküldési határidő 2007. április 16-án LEJÁRT.


Megoldás: Legyenek az ötszög csúcsai az Fi pontoknak megfelelő körüljárási sorrendben A,B,C, D,E. Legyen továbbá \ora{AF_1}=\ora{F_1B}=a, \ora{BF_2}=\ora{F_2C}=b, \ora{CF_3}=\ora{F_3D}=c, \ora{DF_4}= \ora{F_4E} = d és \ora{EF_5}=\ora{F_5A}=e. Az a,b,c,d,e vektorok összege 0, hiszen

2a+2b+2c+2d+2e=\ora{AB}+\ora{BC}+\ora{CD}+\ora{DE}+\ora{EA}=0.

Mivel a PF2F3F4 négyszög paralelogramma,

\ora{F_2P}=\ora{F_3F_4}=\ora{F_3D}+\ora{DF_4}=c+d.

Ezért

\ora{F_1P}=\ora{F_1B}+\ora{BF_2}+\ora{F_2P}=a+b+c+d=-e=\ora{AF_5},

tehát a PF5AF1 négyszög is paralelogramma.


Statisztika:

160 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:128 versenyző.
2 pontot kapott:15 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.
Nem versenyszerű:12 dolgozat.

A KöMaL 2007. márciusi matematika feladatai