KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A B. 4006. feladat (2007. május)

B. 4006. Az a, b, c oldalú háromszögben a+b=2c. Igazoljuk, hogy a háromszög beírt és körülírt körének középpontja, valamint az a és a b oldal felezőpontja egy körön van.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Az a és b oldalak közös csúcsát jelölje C, a beírt, illetve a körülírt kör középpontját K, illetve O, az a,b oldalak felezőpontját Fa,Fb, a beírt kör pedig érintse ugyanezeket az oldalakat az Ea,Eb pontokban. Mivel a CO szakasz az Fa és Fb pontokból is 90o-os szög alatt látszik, az Fa,C,Fb és O pontok egy k körön helyezkednek el. Hasonló okból az Ea,C,Eb és K pontok is egy körön helyezkednek el. Mivel az EaEb egyenes elválasztja a C és K pontokat, az EaKEb szög a háromszög C-nél lévő \gamma szögét 180o-ra egészíti ki.

Ha a=b, akkor K=O, vagyis négy pont valóban egy körön helyezkedik el. Tegyük fel, hogy a\neb, mondjuk a>b. Mivel CEa=CEb=s-c=(a+b-c)/2=c/2=(a+b)/4,

F_aE_a=CF_a-CE_a=\frac{a-b}{4}=CE_b-CF_b=E_bF_b.

Ezért az FaEaK és FbEbK derékszögű háromszögek egybevágók, hiszen EaK=EbK a beírt kör sugara. A két háromszöget tehát K körül 180o-\gamma szögű elforgatás viszi egymásba, amiért is a K pontból az FaFb szakasz is ekkora szög alatt látszik, az FaFb egyenes másik oldalára eső C pontból viszont \gamma szög alatt. Ezért az Fa,C,Fb és K pontok is egy körön helyezkednek el, vagyis K illeszkedik a k körre.


Statisztika:

63 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:56 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley