A B. 4006. feladat (2007. május)

B. 4006. Az a, b, c oldalú háromszögben a+b=2c. Igazoljuk, hogy a háromszög beírt és körülírt körének középpontja, valamint az a és a b oldal felezőpontja egy körön van.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Az a és b oldalak közös csúcsát jelölje C, a beírt, illetve a körülírt kör középpontját K, illetve O, az a,b oldalak felezőpontját F_a,F_b, a beírt kör pedig érintse ugyanezeket az oldalakat az E_a,E_b pontokban. Mivel a CO szakasz az F_a és F_b pontokból is 90^o-os szög alatt látszik, az F_a,C,F_b és O pontok egy k körön helyezkednek el. Hasonló okból az E_a,C,E_b és K pontok is egy körön helyezkednek el. Mivel az E_aE_b egyenes elválasztja a C és K pontokat, az E_aKE_b szög a háromszög C-nél lévő szögét 180^o-ra egészíti ki.

Ha a=b, akkor K=O, vagyis négy pont valóban egy körön helyezkedik el. Tegyük fel, hogy ab, mondjuk a>b. Mivel CE_a=CE_b=s-c=(a+b-c)/2=c/2=(a+b)/4,

Ezért az F_aE_aK és F_bE_bK derékszögű háromszögek egybevágók, hiszen E_aK=E_bK a beírt kör sugara. A két háromszöget tehát K körül 180^o- szögű elforgatás viszi egymásba, amiért is a K pontból az F_aF_b szakasz is ekkora szög alatt látszik, az F_aF_b egyenes másik oldalára eső C pontból viszont szög alatt. Ezért az F_a,C,F_b és K pontok is egy körön helyezkednek el, vagyis K illeszkedik a k körre.

Statisztika:

63 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	56 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2007. májusi matematika feladatai