Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4033. feladat (2007. november)

B. 4033. Egy tánctanfolyamra csak házaspárok iratkoztak be. Valaki megfigyelte, hogy minden házaspár két tagjának magassága közötti különbség legfeljebb 10 cm. A tánctanár magasság szerint növekvő sorrendbe állítja külön a férfiakat és a nőket. A táncospárok ennek alapján jönnek létre: a legmagasabb nő a legmagasabb férfival táncol, és így tovább. Igazoljuk, hogy bármely táncospár tagjainak magassága között szintén legfeljebb 10 cm a különbség.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. december 17-én LEJÁRT.


Megoldás: Legyenek a táncospárok (Ni,Fi), ahol 1\lei\le\ell, az Ni nő magassága cm-ekben mérve ni, az Fi férfié fi, továbbá n_1\le n_2\le \ldots\le n_\ell és f_1\le f_2\le \ldots\le f_\ell.

Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, ekkor van olyan 1\lei\le\ell, amelyre ni<fi-10 vagy fi<ni-10. Szimmetria okok miatt elég az első esettel foglalkoznunk. Ekkor minden 1\lej\lei\lek\le\ell esetén nj\leni<fi-10\lefk-10, vagyis Fk nem lehet az Nj házastársa. Tehát az N_1,\ldots, N_i nők házastársa az F_1,\ldots,F_{i-1} férfiak között keresendő, ami a skatulya-elv miatt nem lehetséges; indirekt feltevésünk ellentmondásra vezetett.


Statisztika:

149 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:96 versenyző.
3 pontot kapott:4 versenyző.
2 pontot kapott:11 versenyző.
1 pontot kapott:9 versenyző.
0 pontot kapott:27 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2007. novemberi matematika feladatai