Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4041. feladat (2007. november)

B. 4041. Egy háromszög súlyvonalainak hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív \alpha, \beta, \gamma számra

\alphaa+\betab+\gammac,    \gammaa+\alphab+\betac,    \betaa+\gammab+\alphac

hosszúságú oldalakkal háromszög szerkeszthető.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. december 17-én LEJÁRT.


Megoldás: Először azt mutatjuk meg, hogy a,b,c hosszúságú oldalakkal szerkeszthető háromszög. Ha a szokásos módon a háromszög csúcsait A,B,C, az oldalak felezőpontjait Fa,Fb,Fc jelöli, akkor

\ora{AF_a}+\ora{BF_b}+\ora{CF_c}=
\frac{\ora{AB}+\ora{AC}}{2}+\frac{\ora{BA}+\ora{BC}}{2}+
\frac{\ora{CA}+\ora{CB}}{2}=0.

Mivel az \ora{AF_a},\ora{BF_b},\ora{CF_c} vektorok nem párhuzamosak, hosszuk pedig rendre a,b,c, ez igazolja fenti állításunkat.

Az a,b,c mennyiségekre tehát teljesül a háromszög-egyenlőtlenség. Elegendő megmutatni, hogy a feladatban szereplő három mennyiség is kielégíti azt. Ez három egyenlőtlenséget jelent. Szimmetria okok miatt elegendő az egyiket igazolni. Az

(\alphaa+\betab+\gammac)+(\gammaa+\alphab+\betac)>\betaa+\gammab+\alphac

egyenlőtlenség például ekvivalens az

\alpha(a+b-c)+\beta(b+c-a)+\gamma(c+a-b)>0

egyenlőtlenséggel. Fenti megállapításunk és a feladat feltételei szerint \alpha,\beta,\gamma és az a+b-c,b+c-a,c+a-b mennyiségek is pozitívak, amiből az egyenlőtlenség azonnal leolvasható.


Statisztika:

91 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:76 versenyző.
3 pontot kapott:9 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.

A KöMaL 2007. novemberi matematika feladatai