Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4047. feladat (2007. december)

B. 4047. Véges sok körlap együtt T területű részt fed le a síkon. Mutassuk meg, hogy a körlapok közül kiválaszthatunk néhányat, amelyek nem nyúlnak egymásba, és legalább T/9 területű részt fednek le.

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. január 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Legyen K1 a(z egyik) legnagyobb területű körlap. Hagyjuk el a körlapok közül K1-et, valamint az összes olyan körlapot, amelynek van K1-gyel közös pontja. Ismételjük meg az eljárást, ahányszor csak lehet: az i-edik lépésben a megmaradt körlapok közül a legnagyobb területűt jelölje Ki, majd hagyjuk el a körlapok közül Ki-t, valamint az összes olyan még meglévő körlapot, amelynek van Ki-vel közös pontja. Mivel csak véges sok körlapunk van, az eljárás egy idő után véget ér, és kapunk egy véges K_1,K_2,\ldots, K_t sorozatot. Az eljárásból adódik, hogy a sorozat bármely két eleme diszjunkt. Nagyítsunk fel minden Ki-t háromszorosára a középpontja körül. Az így kapott K_1',K_2',\ldots,K_t' körlapok lefedik az összes körlapot, hiszen minden i-re teljesül, hogy az i-edik lépésben elhagyott körlapokat Ki' tartalmazza. Ezért a K_1',K_2',\ldots,K_t' körlapok együttesen legalább T területű részt fednek le a síkon. Ebből következik, hogy a Ki' körlapok területeinek összege is legalább T, a páronként diszjunkt Ki körlapok területeinek összege pedig legalább T/9.


Statisztika:

46 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Aujeszky Tamás, Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Dinh Hoangthanh Attila, Éles András, Énekes Péter, Farkas Márton, Frankl Nóra, Gőgös Balázs, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Kalina Kende, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 999 Noémi, Kristóf Panna, Marák Károly, Márki Róbert, Mészáros András, Nagy 111 Miklós, Nagy 648 Donát, Nagy-Baló András, Perjési Gábor, Réti Dávid, Salát Zsófia, Strenner Péter, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Szirmay-Kalos Barnabás, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Tubak Dániel, Varga 171 László, Véges Márton, Vuchetich Bálint, Wagner Zsolt, Wang Daqian, Weisz Ágoston.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2007. decemberi matematika feladatai