Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4106. feladat (2008. szeptember)

B. 4106. Melyek azok az ABCD síknégyszögek, melyekre e sík minden P pontja esetén

PA2+PC2=PB2+PD2

teljesül?

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. október 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Vezessük be az AB=a, BC=b, CD=c, DA=d, AC=e, BD=f jelöléseket. Ha a P pontot A-nak választjuk, akkor az e2=a2+d2 összefüggésre jutunk. Hasonlóképpen kapjuk az e2=b2+c2, a2+b2=f2 és d2+c2=f2 összefüggéseket a P=C, P=B, illetve P=D választással. Az első két összefüggés alapján a2-b2=c2-d2, a másik kettőből pedig a2+b2=c2+d2 következik. Mivel tetszőleges p,q esetén az x-y=p, x+y=q egyenletrendszer egyértelműen megoldható, innen a2=c2 és b2=d2 adódik, vagyis a=c, b=d. Az ABCD négyszög tehát paralelogramma kell legyen. Sőt, e2=b2+c2=b2+a2=f2 miatt e=f, vagyis a feltételek teljesülése esetén az ABCD négyszög csakis téglalap lehet.

A téglalapokra viszont minden P pont esetén teljesül a feltétel. Ha ugyanis a P pont távolságát az AB, BC, CD, DA egyenesektől rendre u,v,w és z jelöli, akkor a Pithagorasz tétel alapján

PA2+PC2=(u2+z2)+(v2+w2)=(u2+v2)+(w2+z2)=PB2+PD2.


Statisztika:

123 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:69 versenyző.
3 pontot kapott:15 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:17 versenyző.
0 pontot kapott:16 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2008. szeptemberi matematika feladatai