Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4112. feladat (2008. október)

B. 4112. Egy téglalap alakú ABCD biliárdasztal A csúcsából a szögfelező irányában ellökünk egy golyót, mely a CD, BC majd AB oldalakról visszapattanva éppen telibe találja a téglalap közepén álló golyót. Milyen más irányban lökhetjük még el a golyót az A pontból, hogy három különböző oldalról visszapattanva szintén telibe találja a középen álló golyót?

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. november 17-én LEJÁRT.


Megoldás: Vizsgáljuk meg általában, hogy egy téglalap alakú XYZV biliárdasztal X csúcsából hogyan lökhetünk el egy golyót úgy, hogy három különböző oldalról visszapattanva telibe találja az O középpontban álló golyót. Szimmetria okok miatt feltesszük, hogy a golyó először a ZV oldal P pontjáról pattan vissza. Tegyük fel, hogy ezután az XY oldal Q pontjáról pattan tovább. Innen nyilván az YZ oldal egy R pontjába kell kerülnie. Legyen S és T a VZ oldal azon két pontja, amelyre RS, illetve YT párhuzamos PQ-val. Az XYTP szimmetrikus trapéz a belsejében tartalmazza az O pontot, míg az RS szakasz a trapézon kívül helyezkedik el, vagyis nem haladhat át az O ponton. Mivel az R pont érintése után a golyónak az RS szakaszon kell továbbhaladnia, ez a lehetőség nem jöhet szóba.

A golyó tehát a P pont után először az YZ oldal egy Q pontjáról pattan tovább, majd az XY oldal egy R pontjának érintése után érkezik meg az O pontba. Legyen az XV oldal hossza a, az XY oldalé b, az XY oldal felezőpontja pedig F. Tegyük fel, hogy a P pont a VZ oldalt x:(1-x) arányban osztja, vagyis VP=xb, PZ=(1-x)b. Az XVP, QZP, QYR és OFR derékszögű háromszögek hasonlóságát felhasználva rendre azt kapjuk, hogy

ZQ=\frac{1-x}{x}a,\quad YQ=a-ZQ=\frac{2x-1}{x}a,\quad YR=(2x-1)b,\quad

FR=\frac{b}{2}-YR=\frac{3-4x}{2}b,\quad \frac{a}{2}=OF=\frac{3-4x}{2x}a.

Az utolsó összefüggés alapján x=3/5.

Rátérve a konkrét feladatra, ha az A csúcsból a szögfelező irányában ellökött golyó a CD oldalt a P pontban találja el, akkor AD=DP=(3/5)CD. Ezenkívül még az jön szóba, hogy a golyó a BC, CD majd AD oldalakról visszapattanva találja el a középen álló golyót, ehhez pedig a BC oldal azon Q pontja irányába kell meglökni, amelyre BQ=(3/5)BC=(9/25)AB. Vagyis a golyót az AB oldallal {\hbox {\rm arctg}}(9/25)\approx 19,8^\circ-os szöget bezáró irányban kell ellökni.


Statisztika:

154 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Ágoston Tamás, Aujeszky Tamás, Beke Lilla, Bencskó György Árpád, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bóra Eszter, Bősze Zsuzsanna, Cséke Balázs, Csizmadia Luca, Csuka Róbert, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Fülep Csilla, Gévay Gábor, Hajdók Soma, Horowitz Gábor, Janzer Olivér, Keresztfalvi Tibor, Kiss 232 Dóra, Kiss 427 Borbála, Kiss 542 Robin, Kiss 902 Melinda Flóra, Kiss Boldizsár, Klenk 191 Blanka, Lelkes Ádám, Lenger Dániel, Lovas Lia Izabella, Matyuska Péter, Mezei Márk, Nagy 123 Balázs, Nagy 127 Márton, Nagy 648 Donát, Ódor Gergely, Palincza Richárd, Rácz Zoltán, Somogyi Ákos, Vadon Viktória, Varga 171 László, Varga 777 Ádám, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zelena Réka.
3 pontot kapott:62 versenyző.
2 pontot kapott:27 versenyző.
1 pontot kapott:11 versenyző.
0 pontot kapott:9 versenyző.

A KöMaL 2008. októberi matematika feladatai