Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4115. feladat (2008. október)

B. 4115. Mely k pozitív egész esetén fordul elő az 1 az (an) sorozat elemei között, ha a1=k, és a_{n+1}=\frac{a_n}{2}, ha an páros, illetve an+1=an+5, ha an páratlan?

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. november 17-én LEJÁRT.


Megoldás: A képzési szabály szerint a sorozat minden eleme pozitív egész szám, és vagy minden elem osztható 5-tel, vagy egyik sem. Így ha k osztható 5-tel, akkor a sorozat elemei között az 1 nem fordulhat elő. Megmutatjuk, hogy minden más esetben viszont előfordul. Tegyük fel tehát, hogy a sorozat egyik eleme sem osztható 5-tel. Ha an páros, akkor an+1=an/2<an, ha pedig páratlan, akkor an+2=(an+5)/2<an, feltéve, hogy an>5. Mivel an=5 most nem lehet, ez azt mutatja, hogy a sorozat minden 4-nél nagyobb eleme után található a sorozatban egy nála kisebb elem. Ez pedig azt jelenti, hogy előbb vagy utóbb a sorozatban megjelenik egy olyan an elem, amelyre an\le4. Ha an=1, akkor készen vagyunk, ha an=2, akkor an+1=1, ha an=4, akkor an+2=1, ha pedig an=3, akkor an+4=1.


Statisztika:

160 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:78 versenyző.
4 pontot kapott:25 versenyző.
3 pontot kapott:12 versenyző.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:22 versenyző.
0 pontot kapott:15 versenyző.

A KöMaL 2008. októberi matematika feladatai