Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4151. feladat (2009. január)

B. 4151. Legyen \alpha=\pi/14. Mennyi sin \alpha.sin 3\alpha.sin 5\alpha értéke?

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. február 16-án LEJÁRT.


Megoldás: A sin x=cos (\pi/2-x) összefüggés segítségével írjuk át a kifejezést

K=\cos\frac{\pi}{7}\cdot\cos\frac{2\pi}{7}\cdot\cos\frac{3\pi}{7}

alakra. A 2cos xcos y=cos (x-y)+cos (x+y) képlet ismételt alkalmazásával

K=\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{7}\Bigl(\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}
\Bigr)=\frac{1}{4}\Bigl(\cos0+\cos\frac{2\pi}{7}+
\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}\Bigr)=

=\frac{1}{8}\Bigl(1+\cos0+\cos\frac{2\pi}{7}+
\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}+\cos\frac{8\pi}{7}+
\cos\frac{10\pi}{7}+\cos\frac{12\pi}{7}\Bigr).

Tekintsük azt az origó középpontú egységsugarú körbe írt szabályos hétszöget, amelynek egyik csúcsa az (1;0) pont. Szimmetria okokból az origóból a hétszög csúcsaiba mutató vektorok összege nulla. Ugyanakkor ennek az összegvektornak az első koordinátája éppen az előbbi zárójelben található hét koszinusz összege, vagyis ez utóbbi értéke 0. Így hát a keresett érték K=1/8.


Statisztika:

66 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:58 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.

A KöMaL 2009. januári matematika feladatai