 |
A B. 4165. feladat (2009. március) |
B. 4165. Egy konvex ABCD négyszög átlóinak metszéspontja O. Bizonyítsuk be, hogy az AB2+BC2+CD2+DA2=2(AO2+BO2+CO2+DO2) összefüggés pontosan akkor áll fenn, ha az AC és BD átlók merőlegesek, vagy ha egyiküknek a felezőpontja O.
Kvant
(3 pont)
A beküldési határidő 2009. április 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Az O pontból a négyszög csúcsaiba mutató vektorokat jelölje értelemszerűen a,b,c,d. A vektorok skaláris szorzatát használva a szóban forgó összefüggést
(b-a)2+(c-b)2+(d-c)2+(a-d)2=2(a2+b2+c2+d2)
alakban írhatjuk fel, ami ekvivalens az ab+bc+cd+da=0, vagy másképpen az (a+c)(b+d)=0 összefüggéssel. Ez pedig azt jelenti, hogy vagy a+c=0, vagyis c=-a, tehát O az AC átló felezőpontja, vagy b+d=0, tehát O a BD átló felezőpontja, vagy pedig az AC átlóval párhuzamos nemnulla a+c vektor merőleges a BD átlóval párhuzamos nemnulla b+d vektorra.
Statisztika:
102 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 90 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2009. márciusi matematika feladatai