![]() |
A B. 4184. feladat (2009. május) |
B. 4184. Egy húrnégyszög csúcsai a körülírt kört négy ívre osztják, melyek felezőpontjai sorban F1, F2, F3 és F4. Mutassuk meg, hogy az F1F3 szakasz merőleges F2F4-re.
(3 pont)
A beküldési határidő 2009. június 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A sokszög csúcsai legyenek A,B,C,D az ábrán látható módon, az átlók metszéspontja legyen M. Az egymástól páronként diszjunkt AB,BC,CD,DA ívekhez tartozó középponti szögeket jelölje rendre ,
,
,
, ezek összege nyilván 2
.
Az F2 pontból az AB ív /2 szög alatt látszik, ezért az AF1 ív
/4 szög alatt látszik. Az AF2F4 szög nagysága hasonlóképpen
/4, vagyis az F1F2F4 szög nagysága (
+
)/4. Ugyanígy számolhatjuk ki azt is, hogy az F2F1F3 szög nagysága (
+
)/4. Ezek alapján az F1F2M háromszögben az F1 és F2 csúcsoknál lévő szögek összege (
+
+
+
)/4=
/2, tehát az M csúcsnál lévő szög valóban derékszög.
Statisztika:
75 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 53 versenyző. 2 pontot kapott: 15 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat.
A KöMaL 2009. májusi matematika feladatai