Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4184. feladat (2009. május)

B. 4184. Egy húrnégyszög csúcsai a körülírt kört négy ívre osztják, melyek felezőpontjai sorban F1, F2, F3 és F4. Mutassuk meg, hogy az F1F3 szakasz merőleges F2F4-re.

(3 pont)

A beküldési határidő 2009. június 15-én LEJÁRT.


Megoldás. A sokszög csúcsai legyenek A,B,C,D az ábrán látható módon, az átlók metszéspontja legyen M. Az egymástól páronként diszjunkt AB,BC,CD,DA ívekhez tartozó középponti szögeket jelölje rendre \alpha,\beta,\gamma,\delta, ezek összege nyilván 2\pi.

Az F2 pontból az AB ív \alpha/2 szög alatt látszik, ezért az AF1 ív \alpha/4 szög alatt látszik. Az AF2F4 szög nagysága hasonlóképpen \delta/4, vagyis az F1F2F4 szög nagysága (\alpha+\delta)/4. Ugyanígy számolhatjuk ki azt is, hogy az F2F1F3 szög nagysága (\beta+\gamma)/4. Ezek alapján az F1F2M háromszögben az F1 és F2 csúcsoknál lévő szögek összege (\alpha+\beta+\gamma+\delta)/4=\pi/2, tehát az M csúcsnál lévő szög valóban derékszög.


Statisztika:

76 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:54 versenyző.
2 pontot kapott:15 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2009. májusi matematika feladatai