A B. 4196. feladat (2009. szeptember)

B. 4196. Legyen n pozitív egész. Határozzuk meg a

szám tizedesvessző utáni első számjegyét.

(3 pont)

A beküldési határidő 2009. október 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Az első \(\displaystyle n\) pozitív egész összegére, illetve az első \(\displaystyle n\) pozitív egész négyzetének összegére vonatkozó képlet alapján

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{\frac{k(k+1)}{n}}=\frac{1}{n}\left\{ \sum_{k=1}^n k^2 +\sum_{k=1}^n k\right\}=\frac{1}{n}\left\{ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} +\frac{n(n+1)}{2}\right\}=\)

\(\displaystyle =\frac{(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n+1}{2}=\frac{(n+1)(2n+4)}{6}= \frac{(n+1)(n+2)}{3}.\)

Ha \(\displaystyle n\) 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot ad, akkor ez a szám egész szám, tehát a tizedesvessző után 0 áll. Ha pedig \(\displaystyle n\) osztható 3-mal, akkor a számláló 3-mal osztva 2 maradékot ad, vagyis a szám \(\displaystyle 2/3\)-dal nagyobb, mint egész szám, tehát a tizedesvessző után 6-os számjegy áll.

Statisztika:

168 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	133 versenyző.
2 pontot kapott:	22 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2009. szeptemberi matematika feladatai