A B. 4204. feladat (2009. október)

B. 4204. Adott négy pozitív szám: a, b, c, d. Az ab, ac, ad, bc, bd, cd szorzatok közül ötnek az értékét ismerjük, ezek 2, 3, 4, 5 és 6. Mennyi a hatodik szorzat értéke?

(3 pont)

A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A 6 szorzatot 3 párba állíthatjuk úgy, hogy az egy párba tartozó számok szorzata ugyanannyi, hiszen \(\displaystyle (ab)(cd)=(ac)(bd)=(ad)(bc)=abcd\). A megadott 5 szám között két ilyen pár is szerepel. Az \(\displaystyle abcd\) szorzat tehát 5-tel nem osztható egész szám. Ez csak úgy lehet, ha az 5 párja nem szerepel a megadott számok között, \(\displaystyle (abcd)^2\) pedig a másik négy szám szorzata. Innen \(\displaystyle abcd=12\), a hatodik szorzat értéke pedig az 5 hiányzó párja, ami \(\displaystyle abcd/5=12/5\).

Statisztika:

167 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	108 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	26 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2009. októberi matematika feladatai