Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4217. feladat (2009. november)

B. 4217. Jelölje egy hegyesszögű háromszög oldalait és (ívmértékben mért) szögeit a szokásos módon a, b, c, illetve \alpha, \beta\gamma. Mutassuk meg, hogy


\frac{\pi}{3}\le \frac{\alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2}{a^2+b^2+c^2}<\frac{\pi}{2}.

(4 pont)

A beküldési határidő 2009. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Ha a háromszög szabályos, akkor a kifejezés értéke \(\displaystyle \pi/3\). Belátjuk, hogy minden más esetben ennél határozottan nagyobb, de kisebb, mint \(\displaystyle \pi/2\). Feltehetjük, hogy \(\displaystyle a\le b\le c\), \(\displaystyle a<c\), vagyis \(\displaystyle \alpha\le \beta\le \gamma\), \(\displaystyle \alpha<\gamma\), ahol két szög pontosan akkor egyenlő, ha a nekik megfelelő oldalak egyenlő hosszúak. A bizonyítás alapja a következő állítás. Legyen \(\displaystyle A,B,\tau\) rögzített. Ha \(\displaystyle A=B\), akkor az \(\displaystyle f(x)=A(\tau-x)+B(x)\) függvény értéke az \(\displaystyle x\)-től független \(\displaystyle A\tau\) állandó, \(\displaystyle A<B\) esetén viszont \(\displaystyle f(x)\) szigorúan monoton növekedő, hiszen ekkor \(\displaystyle x_1<x_2\) esetén \(\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=(B-A)(x_2-x_1)>0\).

A felső becsléshez legyen \(\displaystyle \beta=\pi/2-\alpha_1\), \(\displaystyle \gamma=\pi/2-\alpha_2\), ahol a pozitív \(\displaystyle \alpha_1\) és \(\displaystyle \alpha_2\) számok összege éppen \(\displaystyle \alpha\). Az állítás szerint \(\displaystyle a^2\alpha_1+b^2\beta\le a^2\cdot 0+b^2(\pi/2)\) és \(\displaystyle a^2\alpha_2+c^2\gamma< a^2\cdot 0+c^2(\pi/2)\), vagyis valóban

\(\displaystyle {\alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2} =(a^2\alpha_1+b^2\beta)+(a^2\alpha_2+c^2\gamma)<\frac{\pi}{2}(b^2+c^2)< \frac{\pi}{2}(a^2+b^2+c^2).\)

Az alsó becsléshez tegyük fel először azt, hogy \(\displaystyle \beta\ge\pi/3\), vagyis \(\displaystyle \beta=\pi/3+\beta_1\), \(\displaystyle \gamma=\pi/3+\gamma_1\), \(\displaystyle \alpha=\pi/3-\beta_1-\gamma_1\), ahol \(\displaystyle 0\le \beta_1\le \gamma_1\) és \(\displaystyle \gamma_1>0\). Ekkor az állítás ismételt alkalmazásával

\(\displaystyle \alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2>\left(\frac{\pi}{3}-\beta_1\right)a^2 +\beta b^2+\frac{\pi}{3}c^2\ge \frac{\pi}{3}(a^2+b^2+c^2).\)

Ha pedig \(\displaystyle \alpha=\pi/3-\alpha_1\), \(\displaystyle \beta=\pi/3-\beta_1\) és \(\displaystyle \gamma=\pi/3+ \beta_1+\alpha_1\), ahol \(\displaystyle 0<\beta_1\le \alpha_1\), akkor

\(\displaystyle \alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2>\alpha a^2 +\frac{\pi}{3} b^2+\left(\frac{\pi}{3}+\alpha_1\right)c^2> \frac{\pi}{3}(a^2+b^2+c^2),\)

ahogyan azt állítottuk.


Statisztika:

77 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:59 versenyző.
3 pontot kapott:5 versenyző.
2 pontot kapott:9 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.

A KöMaL 2009. novemberi matematika feladatai