Problem B. 4220. (November 2009)

B. 4220. Solve the following simultaneous equations:

\(\displaystyle 1-\frac{12}{3x+y} =\frac{2}{\sqrt{x}},\)

\(\displaystyle 1+\frac{12}{3x+y} =\frac{6}{\sqrt{y}}.\)

Lithuanian competition problem

(4 pont)

Deadline expired on December 10, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) pozitív számok, legyen \(\displaystyle y=ax\) alkalmas \(\displaystyle a\) pozitív számmal. A két egyenletet összeadva, illetve a másodikból az elsőt kivonva a

\(\displaystyle 2=\left(\frac{6}{\sqrt{a}}+2\right)\frac{1}{\sqrt{x}}\qquad \hbox{és} \qquad \frac{24}{(3+a)x}=\left(\frac{6}{\sqrt{a}}-2\right)\frac{1}{\sqrt{x}}\)

összefüggésekre jutunk, melyeket összeszorozva, \(\displaystyle x\)-szel való beszorzás után \(\displaystyle a\)-ra a

\(\displaystyle \frac{48}{3+a}=\left(\frac{6}{\sqrt{a}}+2\right) \left(\frac{6}{\sqrt{a}}-2\right)=\frac{36}{a}-4\)

egyenletet kapjuk. Innen \(\displaystyle 12a=(9-a)(3+a)\), \(\displaystyle a^2+6a-27=0\). Az egyenlet pozitív gyöke \(\displaystyle a=3\), amit behelyettesítve \(\displaystyle \sqrt{x}=\sqrt{3}+1\), \(\displaystyle x=4+2\sqrt{3}\), \(\displaystyle y=3x=12+6\sqrt{3}\) adódik. Nem nehéz ellenőrizni, hogy ez a számpár valóban megoldása az egyenletrendszernek.

Statistics:

80 students sent a solution.
4 points:	Árvay Balázs, Barczel Nikolett, Beke Lilla, Bodai Kristóf, Boér Lehel, Cséke Balázs, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dorkó Barbara, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Hosszejni Darjus, Janosov Milán, Jernei Tamás, Kapitány Domonkos, Karkus Zsuzsa, Klincsik Gergely, Kovács 235 Gábor, Kovács 729 Gergely, Kovács Attila, Köpenczei Gergő, Lencz Éva, Márkus Bence, Mester Márton, Mihálka Éva Zsuzsanna, Mihálykó András, Mokcsay 026 Ádám, Morapitiye Sunil, Nagy 111 Miklós, Németh Bence, Neukirchner Elisabeth, Orsós Ferenc Richárd, Perjési Gábor, Rábai Domonkos, Réti Dávid, Szili László, Varga Vajk, Varju 105 Tamás, Vida 204 Zsóka, Virágh Eszter, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston, Zelena Réka, Zempléni Réka, Zsakó András.
3 points:	12 students.
2 points:	7 students.
1 point:	6 students.
0 point:	7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009