Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4225. feladat (2009. december)

B. 4225. Oldjuk meg az


\frac{\sqrt{x+z}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{y+z}} +
\frac{\sqrt{y+z}+\sqrt{x+y}}{\sqrt{x+z}} = 14 -
4\sqrt{x+z}- 4\sqrt{y+z},


\sqrt{x+z}+\sqrt{x+y} +\sqrt{z+y} = 4

egyenletrendszert.

Javasolta: Bíró Bálint

(3 pont)

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Vezessük be az \(\displaystyle a=\sqrt{y+z}\), \(\displaystyle b=\sqrt{x+z}\), \(\displaystyle c=\sqrt{x+y}\) jelöléseket, itt \(\displaystyle c\) nemnegatív, \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pedig pozitív szám. Ekkor a második egyenlet \(\displaystyle a+b+c=4\), míg az első

\(\displaystyle \frac{4-a}{a}+\frac{4-b}{b}=14-4a-4b,\)

átrendezés és 4-gyel történő leosztás után pedig

\(\displaystyle \left(a+\frac{1}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{b}\right)=4\)

alakra hozható. Ennek megoldása \(\displaystyle a=b=1\), \(\displaystyle c=2\), hiszen pozitív \(\displaystyle x\) esetén \(\displaystyle x+\frac{1}{x}\ge 2\), ahol egyenlőség csak \(\displaystyle x=1\) esetén áll fenn. Vagyis \(\displaystyle y+z=x+z=1\), \(\displaystyle x+y=4\), az egyenletrendszer megoldása pedig \(\displaystyle x=y=2\), \(\displaystyle z=-1\).


Statisztika:

116 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:75 versenyző.
2 pontot kapott:35 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai