Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4235. feladat (2010. január)

B. 4235. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög oldalait \(\displaystyle n\ge 2\) egyenlő részre osztottuk. Az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle DA\) oldalakon az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) csúcsoktól számított \(\displaystyle k\)-adik osztópontok legyenek \(\displaystyle A_k\), \(\displaystyle B_k\), \(\displaystyle C_k\), \(\displaystyle D_k\). Mely \(\displaystyle (n,k)\) párokra teljesül, hogy az \(\displaystyle ABCD\) négyszög pontosan akkor parallelogramma, ha az \(\displaystyle A_kB_kC_kD_k\) négyszög is az?

Javasolta: Mészáros Gábor (Kemence)

(3 pont)

A beküldési határidő 2010. február 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Jól ismert iskolapélda, hogy tetszőleges konvex négyszög oldalfelező pontjai egy parellelogrammát határoznak meg. Ezért ha \(\displaystyle n\) páros, akkor \(\displaystyle k=n/2\) esetén az állítás nem lehet igaz. Belátjuk, hogy minden más esetben viszont teljesül az állítás, feltéve persze, hogy a \(\displaystyle k\) szám \(\displaystyle n\)-nél kisebb pozitív egész. Az nyilvánvaló, hogy ha az \(\displaystyle ABCD\) négyszög parallelogramma, akkor a középpontja körüli \(\displaystyle 180^\circ\)-os forgatás az \(\displaystyle A_kB_kC_kD_k\) konvex négyszöget is saját magába viszi, vagyis az is parallelogramma lesz. Az alábbiakban tehát azt fogjuk igazolni, hogy ha \(\displaystyle n\ne 2k\) és az \(\displaystyle A_kB_kC_kD_k\) négyszög parallelogramma, akkor az \(\displaystyle ABCD\) négyszög is szükségképpen az.

Egy rögzített pontból a sík tetszőleges \(\displaystyle P\) pontjába mutató helyvektort jelölje \(\displaystyle {\bf p}\). Mivel az új négyszög csúcsai az eredeti négyszög oldalait \(\displaystyle k:(n-k)\) arányban osztják,

\(\displaystyle {\bf a_k}=\frac{k{\bf b}+(n-k){\bf a}}{n},\ {\bf b_k}=\frac{k{\bf c}+(n-k){\bf b}}{n}, {\bf c_k}=\frac{k{\bf d}+(n-k){\bf c}}{n},\ {\bf d_k}=\frac{k{\bf a}+(n-k){\bf d}}{n}.\)

Az \(\displaystyle XYZV\) konvex négyszög pontosan akkor parallelogramma, ha \(\displaystyle {\bf y}-{\bf x}={\bf z}-{\bf v}\), vagyis ha \(\displaystyle {\bf y}+{\bf v}-{\bf x}-{\bf z}={\bf 0}\). Ha tehát az \(\displaystyle A_kB_kC_kD_k\) négyszög parallelogramma, akkor a fentiek miatt

\(\displaystyle \frac{n-2k}{n}({\bf b}+{\bf d}-{\bf a}-{\bf c})={\bf 0}.\)

Amennyiben \(\displaystyle n\ne 2k\), úgy ebből \(\displaystyle {\bf b}+{\bf d}-{\bf a}-{\bf c}={\bf 0}\) következik, vagyis az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög is parallelogramma.


Statisztika:

39 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:Bálint Csaba, Bogár Blanka, Böőr Katalin, Csuka Róbert, Éles András, Hajdók Soma, Janzer Olivér, Jernei Tamás, Keresztfalvi Tibor, Kiss 902 Melinda Flóra, Kószó Simon, Köpenczei Gergő, Medek Ákos, Mihálka Éva Zsuzsanna, Szabó 928 Attila, Udvari Benjámin, Uray Marcell János, Zsakó András.
2 pontot kapott:Bicskei Dávid, Bősze Zsuzsanna, Csere Kálmán, Gyarmati Máté, Kovács 235 Gábor, Neukirchner Elisabeth, Szili László.
1 pontot kapott:6 versenyző.
0 pontot kapott:5 versenyző.
Nem versenyszerű:3 dolgozat.

A KöMaL 2010. januári matematika feladatai