Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4245. feladat (2010. február)

B. 4245. Mutassuk meg, hogy ha a \mathcal{K} konvex sokszög nem paralelogramma, akkor kiválasztható három oldalegyenese úgy, hogy az általuk meghatározott háromszög tartalmazza \mathcal{K}-t.

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Az állítást a \(\displaystyle \mathcal{K}\) sokszög oldalainak száma szerinti indukcióval bizonyítjuk. Ha \(\displaystyle \mathcal{K}\) háromszög, akkor az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel tehát hogy \(\displaystyle \mathcal{K}\)-nak \(\displaystyle n\ge 4\) oldala van, és \(\displaystyle n-1\) oldalú sokszögek esetén az állí tást már igazoltuk. Belátjuk, hogy \(\displaystyle \mathcal{K}\)-nak kiválasztható \(\displaystyle n-1\) oldalegyenese úgy, hogy az általuk meghatározott \(\displaystyle \mathcal{K}'\) sokszög nem parelelogramma, és tartalmazza \(\displaystyle \mathcal{K}\)-t. Ekkor az indukciós feltevés szerint \(\displaystyle \mathcal{K}'\)-nek kiválasztható három oldalegyenese (melyek egyben \(\displaystyle \mathcal{K}\)-nak is oldalegyenesei) úgy, hogy az általuk meghatározott háromszög tartalmazza \(\displaystyle \mathcal{K}'\)-t, és így \(\displaystyle \mathcal{K}\)-t is. Az indukciós lépéshez tehát valóban elegendő az iménti állítást belátni.

Ehhez tekintsük \(\displaystyle \mathcal{K}\)-nak két közös csúccsal nem rendelkező \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) oldalát úgy, hogy ha \(\displaystyle \mathcal{K}\)-nak van két párhuzamos oldala, akkor \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) egy ilyen párhuzamos oldalpár legyen. Mivel \(\displaystyle \mathcal{K}\) külső szögeinek összege \(\displaystyle 360^\circ\), az \(\displaystyle A,B,C,D\) csúcsoknál lévő külső szögek összege sem lehet ennél nagyobb. Az nem lehet, hogy az \(\displaystyle A,B\) csúcsoknál és a \(\displaystyle C,D\) csúcsoknál lévő külső szögek összege egyaránt \(\displaystyle 180^\circ\), hiszen akkor \(\displaystyle \mathcal{K}\) olyan négyszög lenne, amelyben a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle AD\) oldalak párhuzamosak, vagyis \(\displaystyle \mathcal{K}\) paralelogramma lenne. Feltehető tehát, hogy az \(\displaystyle A,B\) csúcsoknál lévő külső szögek összege kisebb, mint \(\displaystyle 180^\circ\). Ekkor az \(\displaystyle AB\) oldalegyenest elhagyva, a fennmaradó \(\displaystyle n-1\) oldalegyenes egy olyan \(\displaystyle \mathcal{K}'\) konvex sokszöget határoz meg, amely tartalmazza \(\displaystyle \mathcal{K}\)-t. Ez a \(\displaystyle \mathcal{K}'\) sokszög pedig nem lehet paralelogramma, hiszen nincsen olyan oldala, amely a \(\displaystyle CD\) oldalegyenesével párhuzamos lenne. Ezzel az indukciós lépéshez szükséges állításunkat igazoltuk.


Statisztika:

61 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Cséke Balázs, Csuka Róbert, Damásdi Gábor, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Janzer Olivér, Karkus Zsuzsa, Lajos Mátyás, Medek Ákos, Mészáros András, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zelena Réka.
3 pontot kapott:Beke Lilla, Bogár Blanka, Hegedűs Csaba, Keceli-Mészáros Emese, Kiss 232 Dóra, Kovács 235 Gábor, Nguyen Milán, Sieben Bertilla, Uray Marcell János.
2 pontot kapott:6 versenyző.
1 pontot kapott:17 versenyző.
0 pontot kapott:10 versenyző.

A KöMaL 2010. februári matematika feladatai