Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4262. feladat (2010. április)

B. 4262. Adottak a P és Q pontok. Határozzuk meg a P-n átmenő összes e egyenes és a Q-ra illeszkedő, e-re merőleges Se sík metszéspontjának mértani helyét.

(3 pont)

A beküldési határidő 2010. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Könnyű látni, hogy a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontok a mértani helyhez tartoznak. Ha az \(\displaystyle e\) egyenes és az \(\displaystyle S_e\) sík \(\displaystyle M\) metszéspontja ezektől különbözik, akkor mivel a \(\displaystyle PMQ\) szög derékszög, a \(\displaystyle PQM\) derékszögű háromszög síkjában az \(\displaystyle M\) pont illeszkedik a \(\displaystyle PQ\) szakasz fölé emelt Thalesz-körre. A metszéspont tehát mindenképpen a \(\displaystyle PQ\) átmérőjű gömbfelületen helyezkedik el. Megfordítva, ha \(\displaystyle M\) ennek a gömbfelületnek \(\displaystyle P\)-től és \(\displaystyle Q\)-tól is különböző pontja, akkor az \(\displaystyle e=PM\) egyenesre az \(\displaystyle M\) pontban merőlegesen állított sík tartalmazza az \(\displaystyle MQ\) egyenest, vagyis áthalad a \(\displaystyle Q\) ponton, tehát megegyezik \(\displaystyle S_e\)-vel. Ezek szerint a keresett mértani hely a \(\displaystyle PQ\) átmérőjű gömbfelülettel egyezik meg. Megjegyezzük, hogy a bizonyítás a \(\displaystyle P=Q\) esetben is érvényes, ekkor a gömbfelület egy pontra húzódik össze.


Statisztika:

70 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:64 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2010. áprilisi matematika feladatai