Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4266. feladat (2010. április)

B. 4266. Jelölje a1, a2, a3, a4 a Pascal-háromszög egyik sorának négy, egymás után következő elemét. Igazoljuk, hogy az

\frac{a_{1}}{a_{1}+a_{2}}, \quad \frac{a_{2}}{a_{2}+a_{3}}, \quad \frac{a_{3}}{a_{3}+a_{4}}

számok számtani sorozatot alkotnak.

(3 pont)

A beküldési határidő 2010. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha (a számozást 0-tól kezdve) a Pascal-háromszög \(\displaystyle n\)-edik sorában vesszük az egymást követő \(\displaystyle a={n\choose k}\) és \(\displaystyle b={n\choose k+1}\) elemeket, akkor

\(\displaystyle \frac{a}{a+b}=\frac{{n\choose k}}{{n\choose k}+{n\choose k+1}}= \frac{{n\choose k}}{{n+1\choose k+1}}=\frac{k+1}{n+1}.\)

Ezért ha \(\displaystyle a_{1}\), \(\displaystyle a_{2}\), \(\displaystyle a_{3}\), \(\displaystyle a_{4}\) a Pascal-háromszög \(\displaystyle n\)-edik sorának egymást követő elemei, akkor a szóban forgó három tört egy olyan 3-tagú számtani sorozatot alkot, amelynek differenciája \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\).

Statisztika:

86 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:81 versenyző.
2 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2010. áprilisi matematika feladatai