 |
A B. 4279. feladat (2010. május) |
B. 4279. Igaz-e, hogy ha egy tetraéder bármely belső pontjának az oldallapoktól vett távolságösszege állandó, akkor a tetraéder szabályos?
(4 pont)
A beküldési határidő 2010. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Egy belső pontnak az \(\displaystyle a,b,c,d\) lapoktól vett távolságát jelölje rendre \(\displaystyle m_a,m_b,m_c,m_d\), az egyes lapok területét \(\displaystyle t_a,t_b,t_c,t_d\). Ekkor a tetraéder térfogata
\(\displaystyle V=\frac{m_at_a+m_bt_b+m_ct_c+m_dt_d}{3}.\)
Amennyiben minden lap területe ugyanannyi, mondjuk \(\displaystyle t\), akkor innen
\(\displaystyle m_a+m_b+m_c+m_d=\frac{3V}{t}\)
adódik. Ezek szerint minden olyan tetraéderre, amelynek lapjai egybevágók, teljesül az a feltétel, hogy bármely belső pontnak az oldallapoktól vett távolságösszege állandó.
Ilyen tetraédereket könnyen megadhatunk a következő módszerrel. Egy rögzített szakasz \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) végpontján át vegyük fel a szakaszra és egymásra is merőleges \(\displaystyle e\), illetve \(\displaystyle f\) egyeneseket. Legyen adott egy tetszőleges \(\displaystyle d\) távolság. Az \(\displaystyle e\) egyenesen vegyük fel az \(\displaystyle E\)-től \(\displaystyle d\) távolságra lévő \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokat, az \(\displaystyle f\) egyenesen hasonlóképpen az \(\displaystyle F\)-től \(\displaystyle d\) távolságra lévő \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokat. Ekkor az \(\displaystyle ABCD\) tetraéder bármely két lapja egymással egybevágó egyenlőszárú háromszög lesz. Világos, hogy a kapott tetraéder csak egyetlen \(\displaystyle d\) érték esetén lesz szabályos, vagyis a feladatban megfogalmazott állítás nem igaz.
Statisztika:
35 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Csere Kálmán, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dunay Luca, Éles András, Énekes Péter, Gyarmati Máté, Hegedűs Csaba, Herczeg József, Janzer Olivér, Keresztfalvi Tibor, Márkus Bence, Medek Ákos, Mészáros András, Nagy Róbert, Sieben Bertilla, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Weimann Richárd. 3 pontot kapott: Csuka Róbert, Jernei Tamás, Kacz Dániel, Vuchetich Bálint. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2010. májusi matematika feladatai