A B. 4282. feladat (2010. szeptember)

B. 4282. Egy medencébe négy különböző csapon át lehet vizet engedni. Ha egyszerre kinyitjuk az első és a második csapot, akkor a medence 2 óra alatt telik meg. Ha a második és a harmadik csapot nyitjuk meg egyszerre, akkor 3 óra alatt, a harmadik és a negyedik csap egyidejű megnyitása mellett pedig 4 óra alatt lesz tele a medence. Mennyi idő alatt telik meg a medence, ha a negyedik és az első csapon át folyatjuk bele egyszerre a vizet?

(3 pont)

A beküldési határidő 2010. október 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy a medence az \(\displaystyle i\)-edik csapon át \(\displaystyle x_i\) óra alatt, az \(\displaystyle i\)-edik és a \(\displaystyle j\)-edik csap együttes megnyitása esetén pedig \(\displaystyle x_{ij}\) óra alatt telik meg. Mivel az \(\displaystyle i\)-edik csapból egy óra leforgása alatt a medence térfogatának \(\displaystyle 1/x_i\) része telik meg, ez azt jelenti, hogy

\(\displaystyle x_{ij}\left(\frac{1}{x_i}+\frac{1}{x_j}\right)=1,\qquad \frac{1}{x_i}+\frac{1}{x_j}=\frac{1}{x_{ij}}.\)

A feltételek szerint tehát

\(\displaystyle \frac{1}{x_{41}}=\frac{1}{x_4}+\frac{1}{x_1}=\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right) \left(\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}\right)-\left(\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)=\)

\(\displaystyle =\frac{1}{x_{12}}+\frac{1}{x_{34}}-\frac{1}{x_{23}} =\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=\frac{5}{12}.\)

Ha tehát a negyedik és az első csapot nyitjuk meg egyszerre, akkor a medence 12/5 óra, vagyis 2 óra 24 perc alatt telik meg.

Statisztika:

359 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	302 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	41 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2010. szeptemberi matematika feladatai