Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4311. feladat (2010. november)

B. 4311. Adott az ABC hegyesszögű háromszög belsejében egy P pont. Az AP, BP és CP egyenesek a szemközti oldalakat rendre A1, B1 és C1 pontokban metszik. Tudjuk, hogy PA1=PB1=PC1=3 és AP+BP+CP=43. Igazoljuk, hogy AP.BP.CP=441.

Máder Attila és Vigh Viktor (Szeged)

(4 pont)

A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen \(\displaystyle AP=x\), \(\displaystyle BP=y\), \(\displaystyle CP=z\), az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe pedig \(\displaystyle t\). Ekkor az \(\displaystyle ABP\), \(\displaystyle BCP\), \(\displaystyle CAP\) háromszögek területe rendre

\(\displaystyle \frac{PC_1}{CC_1}\cdot t=\frac{3t}{3+z}, \quad \frac{PA_1}{AA_1}\cdot t=\frac{3t}{3+x}, \quad \frac{PB_1}{BB_1}\cdot t=\frac{3t}{3+y}.\)

Mivel a három háromszög az eredeti háromszög egy felbontását képezi,

\(\displaystyle \frac{3t}{3+x}+\frac{3t}{3+y}+\frac{3t}{3+z}=t,\)

vagyis

\(\displaystyle 3(x+3)(y+3)+3(x+3)(z+3)+3(y+3)(z+3)=(x+3)(y+3)(z+3).\)

Kifejtés és rendezés után ebből az \(\displaystyle xyz=9(x+y+z)+54\) egyenlőségre jutunk, vagyis valóban

\(\displaystyle AP \cdot BP \cdot CP =9(AP + BP + CP)+54=9\cdot 43+54=441.\)


Statisztika:

22 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Árvay Balázs, Bauer Barbara, Bogár Blanka, Böőr Katalin, Bősze Zsuzsanna, Csahóczi 222 Márton, Dolgos Tamás, Énekes Péter, Halász Dániel, Köpenczei Gergő, Lenger Dániel, Nagy Balázs, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Tekeli Tamás, Zelena Réka.
3 pontot kapott:Bicskei Dávid, Varjú János.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2010. novemberi matematika feladatai