Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 4325. feladat (2011. január)

B. 4325. a) Igaz-e, hogy bármely ABC háromszög tetszőleges P belső pontjára fennáll a PA+PB<CA+CB egyenlőtlenség?

b) Igaz-e, hogy bármely ABCD tetraéder tetszőleges P belső pontjára fennáll a PA+PB+PC<DA+DB+DC egyenlőtlenség?

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. február 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Tekintsük az \(\displaystyle ABC\) háromszög síkjában azon \(\displaystyle E\) pontokat, amelyekre \(\displaystyle EA+EB=CA+CB\). Ezek a pontok egy olyan ellipszisen helyezkednek el, melynek fókuszpontjai \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\), továbbá áthalad a \(\displaystyle C\) ponton. Mivel az ellipszislemez konvex alakzat és tartalmazza az \(\displaystyle ABC\) háromszög három csúcsát, az \(\displaystyle ABC\) háromszög összes belső pontja az ellipszislemeznek is belső pontja. Az ellipszislemez belső pontjai viszont éppen azok a \(\displaystyle P\) pontok, melyekre fennáll a \(\displaystyle PA+PB<CA+CB\) egyenlőtlenség. Az első kérdésre tehát igenlő a válasz.

A második kérdésre azonban nemleges. Tekintsük ugyanis azt a tetraédert, amelynek csúcsai \(\displaystyle A(-1;0;0)\), \(\displaystyle B(0;-1;0)\), \(\displaystyle C(1;1;1)\) és \(\displaystyle D(0;0;0)\). Ebben a tetraéderben a térbeli Pithagorasz-tétel szerint \(\displaystyle DA+DB+DC= 2+\sqrt{3}\) és \(\displaystyle CA+CB= 2\sqrt{6}\), vagyis \(\displaystyle CA+CB+CC>4>DA+DB+DC\). Mivel \(\displaystyle PA+PB+PC\) a \(\displaystyle P\) pont helyzetével folytonosan változik, ha a \(\displaystyle C\) pontot kicsit elmozdítjuk a tetraéder belsejébe, olyan \(\displaystyle P\) ponthoz jutunk, amelyre \(\displaystyle PA+PB+PC>DA+DB+DC\) még mindig fennáll.


Statisztika:

66 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Ágoston Péter, Bálint Csaba, Bősze Zsuzsanna, Damásdi Gábor, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Győrfi 946 Mónika, Hegedűs Csaba, Herczeg József, Homonnay Bálint, Kabos Eszter, Kiss 542 Robin, Medek Ákos, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Rábai Domonkos, Sieben Bertilla, Simig Dániel, Strenner Péter, Szilágyi Gergely Bence, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Zilahi Tamás.
4 pontot kapott:Baráti László, Nagy Róbert, Szabó 928 Attila, Tekeli Tamás, Vajda Balázs.
3 pontot kapott:2 versenyző.
2 pontot kapott:17 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:10 versenyző.
Nem versenyszerű:6 dolgozat.

A KöMaL 2011. januári matematika feladatai