A B. 4328. feladat (2011. január)

B. 4328. Adottak az a és b oldalú szabályos ötszögek. Ha az a oldalú ötszöget megforgatjuk az egyik oldala körül, akkor a keletkezett test térfogata egyenlő annak a testnek a térfogatával, melyet a b oldalú ötszög egyik átlója körüli forgatásával kapunk. Határozzuk meg az a:b arányt.

(3 pont)

A beküldési határidő 2011. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Forgassuk először a \(\displaystyle b\) oldalú \(\displaystyle ABCDE\) ötszöget az \(\displaystyle AD\) átlója körül; szimmetria okok miatt nyilván mindegy, melyik átlója körül forgatjuk. Mivel az \(\displaystyle ABCD\) szimmetrikus trapéznak a forgástengelyre vett tükörképe tartalmazza az \(\displaystyle ADE\) háromszöget, elegendő a trapézt forgatni. A \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontok vetülete az \(\displaystyle AD\) szakaszra legyen \(\displaystyle B'\), illetve \(\displaystyle C'\). A keletkezett forgástest felbontható egy \(\displaystyle BB'=b\sin72^\circ\) sugarú, \(\displaystyle b\) magasságú henger és két darab, egyenként \(\displaystyle BB'\) sugarú, \(\displaystyle AB'=b\cos72^\circ\) magasságú egyenes kúp egymásba nem nyúló egyesítésére. Ezért a forgástest térfogata

\(\displaystyle V_b=b^3\pi\left(\sin^2 72^\circ+\frac{2}{3}\sin^2 72^\circ\cos72^\circ\right)=\frac{b^3\pi}{3}\sin 72^\circ(3\sin72^\circ+\sin36^\circ).\)

Forgassuk most az \(\displaystyle a\) oldalú \(\displaystyle XYZUV\) ötszöget az \(\displaystyle XV\) oldala körül. A \(\displaystyle ZY\) és \(\displaystyle ZU\) egyeneseknek a forgástengellyel alkotott metszéspontját jelölje \(\displaystyle S\), illetve \(\displaystyle T\), az \(\displaystyle Y,Z,U\) pontoknak a forgástengelyre eső vetületét pedig rendre \(\displaystyle Y',Z',U'\). A keletkezett forgástestet megkaphatjuk úgy, hogy két \(\displaystyle ZZ'\) sugarú, \(\displaystyle Z'S\) magasságú forgáskúp egyesítéséből eltávolítunk két \(\displaystyle YY'\) sugarú, \(\displaystyle Y'S\) magasságú és két \(\displaystyle YY'\) sugarú, \(\displaystyle Y'X\) magasságú kúpot. Mivel

\(\displaystyle ZZ'=a(\sin72^\circ+\sin36^\circ),\quad YY'=a\sin72^\circ,\quad Y'X=a\cos72^\circ,\)

\(\displaystyle Z'S=ZZ'\cdot \frac{\cos36^\circ}{\sin36^\circ},\quad Y'S=YY'\cdot \frac{\cos36^\circ}{\sin36^\circ},\)

a forgástest térfogata

\(\displaystyle V_a=\frac{2a^3\pi}{3} \left( (\sin72^\circ+\sin36^\circ)^3\frac{\cos36^\circ}{\sin36^\circ}- \sin^3 72^\circ \frac{\cos36^\circ}{\sin36^\circ}- \sin^2 72^\circ\cos 72^\circ \right)\)

\(\displaystyle =a^3\pi\sin^2 72^\circ(2\cos36^\circ+1).\)

A \(\displaystyle V_a=V_b\) feltétel alapján tehát

\(\displaystyle \frac{a}{b}=\root{3}\of{\frac{3\sin72^\circ+\sin36^\circ} {3\sin72^\circ(2\cos36^\circ+1)}} =\root{3}\of{\frac{6\cos36^\circ+1}{6\cos36^\circ(2\cos36^\circ+1)}}.\)

Minthogy \(\displaystyle 2\cos36^\circ\) megegyezik a szabályos ötszög átlójának és oldalának arányával, ami az aranymetszés alapján \(\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}\), a köbgyök alatt álló érték

\(\displaystyle \frac{3\frac{\sqrt{5}+1}{2}+1}{3\frac{\sqrt{5}+1}{2}\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2}+1\right)}= \frac{2(3\sqrt{5}+5)}{3(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+3)}= \frac{2\sqrt{5}}{3(\sqrt{5}+1)}=\frac{5-\sqrt{5}}{6}.\)

Ezért a keresett \(\displaystyle a:b\) arány

\(\displaystyle \frac{a}{b}=\root{3}\of{\frac{5-\sqrt{5}}{6}}\approx 0,7723.\)

Statisztika:

46 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Bodai Kristóf, Schwarcz Gergő.
2 pontot kapott:	Balázs Bálint, Boér Lehel, Böszörményi Borbála, Csörgő András, Czipó Bence, Gudenus Balázs, Hegedűs Csaba, Nagy Dániel Bálint, Solti Bálint, Szabó 911 Bálint Solt, Tekeli Tamás, Varjú János, Weisz Ambrus.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	25 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2011. januári matematika feladatai