 |
A B. 4337. feladat (2011. február) |
B. 4337. Határozzuk meg azokat a p valós számokat, amelyekre az
x3-7x+p=0
egyenletnek van két olyan valós gyöke, amelyek különbsége 1.
(4 pont)
A beküldési határidő 2011. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b=a+1\) valós számok gyökei az egyenletnek. Ekkor az \(\displaystyle x^3-7x+p\) polinomból az \(\displaystyle x-a\) és \(\displaystyle x-b\) gyöktényező is kiemelhető, vagyis
\(\displaystyle x^3-7x+p=(x-a)(x-b)(x-c)\)
teljesül alkalmas \(\displaystyle c\) valós számmal. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések értelmében
\(\displaystyle a+b+c=0,\ ab+ac+bc=-7,\ abc=-p.\)
Az első összefüggés alapján \(\displaystyle c=-(a+b)=-(2a+1)\). Ezt a második összefüggésbe behelyettesítve
\(\displaystyle ab+(a+b)c=a(a+1)-(2a+1)^2=-7.\)
Az így kapott \(\displaystyle a^2+a-2=0\) másodfokú egyenlet két megoldása \(\displaystyle a_1=1\) és \(\displaystyle a_2=-2\). Az ezekhez tartozó \(\displaystyle b,c\) értékek \(\displaystyle b_1=2\), \(\displaystyle c_1=-3\), illetve \(\displaystyle b_2=-1\), \(\displaystyle c_2=3\). Mivel az első két összefüggés mindkét esetben teljesül, a harmadik összefüggés alapján a megfelelő \(\displaystyle p\) értékekre \(\displaystyle p_1=6\), illetve \(\displaystyle p_2=-6\) adódik.
Statisztika:
129 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 110 versenyző. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2011. februári matematika feladatai