 |
A B. 4347. feladat (2011. március) |
B. 4347. Egy téglalapot felbontottunk legalább kettő különböző méretű négyzetre. Bizonyítsuk be, hogy nem lehet minden négyzet oldalhossza Fibonacci-szám.
Javasolta: Damásdi Gábor (Kecskemét)
(4 pont)
A beküldési határidő 2011. április 11-én LEJÁRT.
Megoldás. A különböző Fibonacci-számok sorozatát az \(\displaystyle F_1=1\), \(\displaystyle F_2=2\), \(\displaystyle F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\) (\(\displaystyle n\ge 3\)) rekurzióval definiálhatjuk. Tegyük fel, hogy egy téglalapot felbontottunk különböző méretű négyzetekre úgy, hogy minden négyzet oldalhossza Fibonacci-szám. A két legnagyobb négyzet oldalának hossza legyen \(\displaystyle F_m\) és \(\displaystyle F_n\), ahol \(\displaystyle m<n\). Ekkor a téglalap területe \(\displaystyle T\ge F_n(F_n+F_m)\), vagyis a két legnagyobb négyzet által le nem fedett részének területe
\(\displaystyle T'=T-F_n^2-F_m^2\ge F_n(F_n+F_m)-F_n^2-F_m^2\ge F_{m+1}F_m-F_m^2=F_mF_{m-1},\)
ha \(\displaystyle m=1\) esetén \(\displaystyle F_0\) értékét 1-nek definiáljuk. Ezt a területet kell lefedniük a fennmaradó négyzeteknek, melyek összeterülete
\(\displaystyle T''\le F_1^2+\ldots+F_{m-1}^2,\)
ahol \(\displaystyle m=1\) esetén üres összegről van szó, melynek értéke 0.
Megmutatjuk, hogy minden \(\displaystyle k\) pozitív egész esetén
\(\displaystyle F_1^2+\ldots+F_{k-1}^2< F_kF_{k-1}.\)
Ez \(\displaystyle k=1\) esetén teljesül, hiszen \(\displaystyle 0<1\), ha pedig valamely \(\displaystyle k\)-ra már beláttuk, akkor
\(\displaystyle F_1^2+\ldots+F_{k-1}^2+F_k^2< F_kF_{k-1}+F_k^2=F_kF_{k+1}\)
alapján \(\displaystyle k\) 1-gyel nagyobb értékére is igaz lesz.
Mindezek alapján látható, hogy \(\displaystyle T''<T'\), ami ellentmondás, vagyis valóban nem lehet minden négyzet oldalhossza Fibonacci-szám.
Statisztika:
31 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Kabos Eszter, Kúsz Ágnes, Lajos Mátyás, Lenger Dániel, Perjési Gábor, Vuchetich Bálint, Zilahi Tamás. 3 pontot kapott: Dobos Nóra, Géczi Péter Attila, Herczeg József, Mihálykó András, Nagy Róbert, Strenner Péter, Viharos Andor. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 13 versenyző.
A KöMaL 2011. márciusi matematika feladatai