A B. 4361. feladat (2011. április)

B. 4361. Legyenek egy ellipszis féltengelyei a és b, középpontja O; $P_1, P_2, \ldots, P_n$ pedig olyan pontjai a görbének, amelyekre a P_iOP_i+1 szögek mindegyike $\frac{\pi}{n}$ . Mutassuk meg, hogy n>1 esetén

$\frac{2}{OP_1^2}+\frac{2}{OP_2^2}+ \ldots +\frac{2}{OP_n^2}= \frac{n}{a^2}+\frac{n}{b^2}.$

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyünk fel egy olyan derékszögű koordinátarendszert, amelyben az ellipszis egyenlete $\displaystyle (x/a)^2+(y/b)^2=1$; ekkor az $\displaystyle O$ pont éppen az origó. Ha az ellipszis egy $\displaystyle P$ pontjára $\displaystyle OP=r$ és az $\displaystyle OP$ szakasz az $\displaystyle x$ tengellyel $\displaystyle \alpha$ irányított szöget zár be, akkor a $\displaystyle P$ pont koordinátái $\displaystyle r\cos\alpha$ és $\displaystyle r\sin\alpha$, vagyis

$\displaystyle \left(\frac{r\cos\alpha}{a}\right)^2+\left(\frac{r\sin\alpha}{b}\right)^2=1, \quad \frac{1}{OP^2}=\frac{1}{r^2}=\frac{\cos^2\alpha}{a^2}+ \frac{\sin^2\alpha}{b^2}.$

A $\displaystyle P_i$ pontnak $\displaystyle O$-ra vonatkozó tükörképét jelölje $\displaystyle P_{n+i}$, ekkor $\displaystyle OP_i=OP_{n+i}$. Az $\displaystyle OP_i$ szakasznak az $\displaystyle x$ tengellyel bezárt irányított szögét jelölje $\displaystyle \alpha_i$, ahol $\displaystyle 1\le i\le 2n$. Ekkor minden $\displaystyle 1\le i<2n$ esetén fennáll az, hogy a $\displaystyle P_iOP_{i+1}$ szög nagysága $\displaystyle \pi/n$, sőt $\displaystyle P_{2n}OP_{1}=\pi/n$ is igaz. Mármost

$\displaystyle \sum_{i=1}^n\frac{2}{OP_i^2}=\sum_{i=1}^{2n}\frac{1}{OP_i^2}= \frac{1}{a^2}\sum_{i=1}^{2n}\cos^2\alpha_i+ \frac{1}{b^2}\sum_{i=1}^{2n}\sin^2\alpha_i.$

Minthogy

$\displaystyle \sum_{i=1}^{2n}\cos^2\alpha_i=\sum_{i=1}^{2n}\cos^2(\alpha_1+(i-1)\pi/n)$

és $\displaystyle \sin x=\cos(\pi/2 -x)$ miatt

$\displaystyle \sum_{i=1}^{2n}\sin^2\alpha_i= \sum_{i=1}^{2n}\cos^2(\pi/2-\alpha_1+(i-1)\pi/n),$

elegendő azt megmutatni, hogy bármely $\displaystyle \alpha$ szög esetén

$\displaystyle \sum_{i=1}^{2n}\cos^2(\alpha+(i-1)\pi/n)=n.$

A $\displaystyle \cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ összefüggés szerint ez egyenértékű a

$\displaystyle \sum_{i=1}^{2n}\cos(2\alpha+2(i-1)\pi/n)=0$

egyenlőséggel. A bal oldalon egy $\displaystyle O$ középpontú egység sugarú körbe írt szabályos $\displaystyle n$-szög csúcsainak $\displaystyle x$-koordinátái szerepelnek összeadandóként, méghozzá mindegyik pontosan kétszer. Hogy ezek összege 0, az rögtön adódik abból a tényből, hogy az $\displaystyle O$ középpontból a sokszög csúcsaiba mutató vektorok összege nulla, amit legegyszerűbben úgy igazolhatunk, ha észrevesszük, hogy az összeg nem változik meg, ha a sokszöget $\displaystyle O$ körül $\displaystyle 2\pi/n$ szöggel elforgatjuk.

Statisztika:

13 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Bogár Blanka, Damásdi Gábor, Fonyó Viktória, Frittmann Júlia, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Weisz Gellért.

4 pontot kapott: Baráti László, Gyarmati Máté, Lajos Mátyás, Perjési Gábor, Simig Dániel.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2011. áprilisi matematika feladatai

13 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bogár Blanka, Damásdi Gábor, Fonyó Viktória, Frittmann Júlia, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Weisz Gellért.
4 pontot kapott:	Baráti László, Gyarmati Máté, Lajos Mátyás, Perjési Gábor, Simig Dániel.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?