 |
A B. 4398. feladat (2011. november) |
B. 4398. Adott az ABC hegyesszögű háromszög BC oldalán az A1 pont, a CA oldalán a B1 pont, és az AB oldalán a C1 pont. Az AC1B1 körön jelöljünk ki egy A2 pontot. Legyen a C1A2 egyenes és a BA1C1 kör C1-től különböző metszéspontja B2, továbbá legyen az A1B2 egyenes és a CB1A1 kör A1-től különböző metszéspontja C2. Igazoljuk, hogy az A2, B1 és C2 pontok egy egyenesre esnek.
(4 pont)
A beküldési határidő 2011. december 12-én LEJÁRT.
Megoldás. A feladat szövege alapján feltesszük, hogy egyértelműen léteznek a szóban forgó metszéspontok és egyenesek, tehát \(\displaystyle A_2\ne C_1\ne B_2\ne A_1\). Jegyezzük meg azt is, hogy \(\displaystyle A_2=A\) pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle B_2=B\), ami ekvivalens azzal, hogy \(\displaystyle C_2=C\); ebben az esetben az állítás nyilvánvaló. Az állítás magától értetődő akkor is, ha az \(\displaystyle A_2,B_1,C_2\) pontok közül valamelyik kettő egybeesik. Ezek alapján feltehetjük, hogy az alábbi érvelést nem érinti semmiféle kedvezőtlen egybeesés.
Érdemes lesz irányított szögekkel dolgozni. Ha az \(\displaystyle \alpha,\beta\) irányított szögekre \(\displaystyle \alpha-\beta\) a \(\displaystyle 180^\circ\)-nak egész számú többszöröse, akkor ezt \(\displaystyle \alpha\equiv\beta\) módon fogjuk jelölni. Mármost ha az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) pontok egy körön vannak, akkor a kerületi szögek tétele szerint \(\displaystyle ACB\sphericalangle\equiv ADB\sphericalangle\) (feltéve, hogy ezek a szögek értelmezhetők). Továbbá az egymástól különböző \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) pontokra \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontosan akkor vannak egy egyenesen, ha \(\displaystyle CBA\sphericalangle\equiv DBA\sphericalangle\). A feladat szövegét erre a nyelvezetre lefordítva
\(\displaystyle C_2B_1A\sphericalangle\equiv C_2B_1C\sphericalangle\equiv C_2A_1C\sphericalangle\equiv B_2A_1C\sphericalangle\equiv B_2A_1B\sphericalangle\equiv\)
\(\displaystyle \equiv B_2C_1B\sphericalangle\equiv A_2C_1B\sphericalangle\equiv A_2C_1A\sphericalangle\equiv A_2B_1A\sphericalangle.\)
Ezek szerint \(\displaystyle C_2B_1A\sphericalangle\equiv A_2B_1A\sphericalangle\), ami éppen a bizonyítandó állítást jelenti.
Statisztika:
80 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Bingler Arnold, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Havasi 0 Márton, Homonnay Bálint, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Machó Bónis, Nagy Anna Noémi, Tulassay Zsolt, Weimann Richárd, Zilahi Tamás. 3 pontot kapott: Baranyi Eszter, Bauer Barbara, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Filó Tamás, Kaprinai Balázs, Kovács-Deák Máté, Leitereg András, Leitereg Miklós, Nagy-György Pál, Varjú János. 2 pontot kapott: 51 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2011. novemberi matematika feladatai