Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4404. feladat (2011. december)

B. 4404. Az A_1A_2 \ldots A_{2n} sokszög minden szöge egyenlő, oldalaira pedig teljesül, hogy A_1A_2=A_3A_4=\ldots =A_{2n-1}A_{2n} és A_2A_3=A_4A_5=\ldots = A_{2n}A_1. Mutassuk meg, hogy a sokszög köré kör írható.

(3 pont)

A beküldési határidő 2012. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Jelölje az \(\displaystyle A_iA_{i+1}\) oldal felező merőlegesét \(\displaystyle f_i\), az \(\displaystyle f_1\) és \(\displaystyle f_2\) egyenesek metszéspontját \(\displaystyle O\). Ha az \(\displaystyle f_i\) egyenesre \(\displaystyle 2\le i\le 2n-2\) tükrözzük az \(\displaystyle A_{i-1}A_i\) oldalt, akkor az \(\displaystyle A_{i+1}A_{i+2}\) oldalhoz jutunk, tehát \(\displaystyle f_{i-1}\) tükörképe az \(\displaystyle f_i\) egyenesre éppen \(\displaystyle f_{i+1}\) lesz. Ebből az észrevételből \(\displaystyle i\) szerinti teljes indukcióval adódik, hogy az \(\displaystyle f_i\) és \(\displaystyle f_{i+1}\) egyenesek minden \(\displaystyle 1\le i\le 2n-2\) esetén az \(\displaystyle O\) pontban metszik egymást, vagyis az \(\displaystyle A_i, A_{i+1},A_{i+2}\) pontok az \(\displaystyle O\) ponttól ugyanolyan távolságban helyezkednek el. Ebből pedig ismétcsak indukcióval belátható, hogy az összes csúcs rajta van az \(\displaystyle O\) középpontú, \(\displaystyle OA_1\) sugarú körön.


Statisztika:

115 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:69 versenyző.
2 pontot kapott:24 versenyző.
1 pontot kapott:13 versenyző.
0 pontot kapott:8 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2011. decemberi matematika feladatai